在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=－x²＋kx＋4与y轴交于A，与x轴的负半轴交于B，且△ABO的面积是8．
（1）求点B的坐标和此二次函数的解析式；
（2）当y≤4时，直接写出x的取值范围．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：二次函数在给定区间上的最值

已知点 $O$ 是线段 $AB$ 的中点，点 $P$ 是直线 $l$ 上的任意一点，分别过点 $A$ 和点 $B$ 作直线 $l$ 的垂线，垂足分别为点 $C$ 和点 $D$ ．我们定义垂足与中点之间的距离为"足中距"．

（1） $[$ 猜想验证 $]$ 如图1，当点 $P$ 与点 $O$ 重合时，请你猜想、验证后直接写出"足中距" $OC$ 和 $OD$ 的数量关系是　　．

（2） $[$ 探究证明 $]$ 如图2，当点 $P$ 是线段 $AB$ 上的任意一点时，"足中距" $OC$ 和 $OD$ 的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

（3） $[$ 拓展延伸 $]$ 如图3，①当点 $P$ 是线段 $BA$ 延长线上的任意一点时，"足中距" $OC$ 和 $OD$ 的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

②若 $∠ COD = 60 °$ ，请直接写出线段 $AC$ 、 $BD$ 、 $OC$ 之间的数量关系．

如图，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，直线 $y = - \frac{1}{2} x + 2$ 过 $B$ 、 $C$ 两点，连接 $AC$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求证： $ΔAOC ∽ ΔACB$ ；

（3）点 $M (3, 2)$ 是抛物线上的一点，点 $D$ 为抛物线上位于直线 $BC$ 上方的一点，过点 $D$ 作 $DE ⊥ x$ 轴交直线 $BC$ 于点 $E$ ，点 $P$ 为抛物线对称轴上一动点，当线段 $DE$ 的长度最大时，求 $PD + PM$ 的最小值．

如图所示，直线 $y = k_{1} x + b$ 与双曲线 $y = \frac{k_{2}}{x}$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，已知点 $B$ 的纵坐标为 $- 3$ ，直线 $AB$ 与 $x$ 轴交于点 $C$ ，与 $y$ 轴交于点 $D (0, - 2)$ ， $OA = \sqrt{5}$ ， $\tan ∠ AOC = \frac{1}{2}$ ．

（1）求直线 $AB$ 的解析式；

（2）若点 $P$ 是第二象限内反比例函数图象上的一点， $ΔOCP$ 的面积是 $ΔODB$ 的面积的2倍，求点 $P$ 的坐标；

（3）直接写出不等式 $k_{1} x + b ⩽ \frac{k_{2}}{x}$ 的解集．

“杂交水稻之父” $- -$ 袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．

（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；

（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现．

如图，以等边三角形 $ABC$ 的 $BC$ 边为直径画圆，交 $AC$ 于点 $D$ ， $DF ⊥ AB$ 于点 $F$ ，连接 $OF$ ，且 $AF = 1$ ．

（1）求证： $DF$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）求线段 $OF$ 的长度．