已知：如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交-优题课

如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A, B$ 两点，与 $y$ 轴交于 $C$ 点， $AC = \sqrt{10}, OB = OC = 3 OA$ .

（1）求拋物线的解析式；

（2）在第二象限内的拋物线上确定一点 $P$ ，使四边形 $PBAC$ 的面积最大，求出点 $P$ 的坐标；

（3）在（2）的结论下，点 $M$ 为 $x$ 轴上一动点，抛物线上是否存在一点 $Q$ ，使点 $P, B, M, Q$ 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出 $Q$ 点的坐标；若不存在，请说明理由.

在某服装批发市场，某种品牌的时装当季节将来临时，价格呈上升趋势，设这种时装开始时定价为 $20$ 元，并且每周（ $7$ 天）涨价 $2$ 元，从第 $6$ 周开始保持 $30$ 元的价格平稳销售；从第 $12$ 周开始，当季节即将过去时，平均每周减价 $2$ 元，直到第 $16$ 周周末，该服装不再销售.

（1）试建立销售价 $y$ 与周次 $x$ 之间的函数关系式；

（2）若这种时装每件进价 $Z$ 与周次 $x$ 之间的关系为 $Z = - 0.125 {(x - 8)}^{2} + 12, 1 ⩽ x ⩽ 16$ ，且 $x$ 为整数，试问该服装第几周出售时，每件销售利润最大，最大利润为多少?

已知二次函数 $y = x^{2} + b x - c$ 的图象经过两点 $P （ 1 ， a ）， Q （ 2 ， 10 a ）$ .

（1）如果 $a, b, c$ 都是整数，且 $c < b < 8 a$ ，求 $a, b, c$ 的值；

（2）设二次函数 $y = x^{2} + bx - c$ 的图象与 $x$ 轴的交点为 $A, B$ ，与 $y$ 轴的交点为 $C$ .如果关于 $x$ 的方程 $x^{2} + bx - c = 0$ 的两个根都是整数，求 $△ ABC$ 的面积.

若方程 $|x^{2} + 2 x - 1| = b$ 有四个互不相等的根，求 $b$ 的取值范围.

甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话:

甲公司经理:如果我公司每辆汽车月租费 $3000$ 元，那么 $50$ 辆汽车可以全部租出.如果每辆汽车的月租费每增加 $50$ 元，那么将少租出1辆汽车.另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费 $200$ 元.

乙公司经理:我公司每辆汽车月租费 $3500$ 元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计 $1850$ 元.

说明:①汽车数量为整数；②月利润=月租车费-月维护费；③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润.

在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题:

（1）当每个公司租出的汽车为 $10$ 辆时，甲公司的月利润是＿＿＿＿元；当每个公司租出的汽车为＿＿＿＿辆时，两公司的月利润相等；

（2）求两公司月利润差的最大值；

（3）甲公司热心公益事业，每租出 $1$ 辆汽车捐出 $a$ 元 $(a > 0)$ 给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为 $17$ 辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求 $a$ 的取值范围.