如图，在三棱锥
中，平面
平面
，
，
．设
，
分别为
，
中点．
（1）求证：
平面
；
（2）求证：
平面
；
（3）试问在线段
上是否存在点
，使得过三点，，的平面内的任一条直线都与平面
平行？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由．
数列
的前n项和为
．
（1）求数列的通项公式；
（2）等差数列
的各项为正，其前
项和记为
，且
，又
成等比数列求．
设
．
（1）求
的最大值及最小值周期；
（2）在
中，角
的对边分别为
，锐角
满足
，求
的值
已知函数
.
（1）若
在区间
上不是单调函数，求实数
的范围；
（2）若对任意
，都有
恒成立，求实数
的取值范围；
（3）当
时，设
，对任意给定的正实数，曲线
上是否存在两点
，使得
是以
（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在
轴上？请说明利用.
已知函数
为奇函数.
（1）若
，求函数
的解析式；
（2）当
时，不等式
在
上恒成立，求实数
的最小值；
（3）当
时，求证：函数
在
上至多一个零点.
为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，已知该单位每月的处理量最少400吨，最多600吨，月处理成本
（元）与月处理量
（吨）之间的函数关系可近似的表示为：
且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.
（1）该单位每月处理量为多少时，才能使每吨的平均处理成本最低？
（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？