因式分解：（1）（2）（3）（4）-优题课

如图，在平面直角坐标系中有三点 $(1, 2)$ ， $(3, 1)$ ， $(- 2, - 1)$ ，其中有两点同时在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上，将这两点分别记为 $A$ ， $B$ ，另一点记为 $C$ ．

（1）求出 $k$ 的值；

（2）求直线 $AB$ 对应的一次函数的表达式；

（3）设点 $C$ 关于直线 $AB$ 的对称点为 $D$ ， $P$ 是 $x$ 轴上的一个动点，直接写出 $PC + PD$ 的最小值（不必说明理由）．

2018年湖南省进入高中学习的学生三年后将面对新高考，高考方案与高校招生政策都将有重大变化．某部门为了了解政策的宣传情况，对某初级中学学生进行了随机抽样调查，根据学生对政策的了解程度由高到低分为 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四个等级，并对调查结果分析后绘制了如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息完成下列问题：

（1）求被调查学生的人数，并将条形统计图补充完整；

（2）求扇形统计图中的 $A$ 等对应的扇形圆心角的度数；

（3）已知该校有1500名学生，估计该校学生对政策内容了解程度达到 $A$ 等的学生有多少人？

如图， $AB / / CD$ ， $∠ 1 = ∠ 2$ ．求证： $AM / / CN$ ．

如图1，经过原点 $O$ 的抛物线 $y = a x^{2} + bx (a$ 、 $b$ 为常数， $a \neq 0)$ 与 $x$ 轴相交于另一点 $A (3, 0)$ ．直线 $l : y = x$ 在第一象限内和此抛物线相交于点 $B (5, t)$ ，与抛物线的对称轴相交于点 $C$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在 $x$ 轴上找一点 $P$ ，使以点 $P$ 、 $O$ 、 $C$ 为顶点的三角形与以点 $A$ 、 $O$ 、 $B$ 为顶点的三角形相似，求满足条件的点 $P$ 的坐标；

（3）直线 $l$ 沿着 $x$ 轴向右平移得到直线 $l'$ ， $l'$ 与线段 $OA$ 相交于点 $M$ ，与 $x$ 轴下方的抛物线相交于点 $N$ ，过点 $N$ 作 $NE ⊥ x$ 轴于点 $E$ ．把 $ΔMEN$ 沿直线 $l'$ 折叠，当点 $E'$ 恰好落在抛物线上时（图 $2)$ ，求直线 $l'$ 的解析式；

（4）在（3）问的条件下（图 $3)$ ，直线 $l'$ 与 $y$ 轴相交于点 $K$ ，把 $ΔMOK$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到△ $M' OK'$ ，点 $F$ 为直线 $l'$ 上的动点．当△ $M^{'} FK'$ 为等腰三角形时，求满足条件的点 $F$ 的坐标．

某商店销售 $A$ 型和 $B$ 型两种电脑，其中 $A$ 型电脑每台的利润为400元， $B$ 型电脑每台的利润为500元．该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共100台，其中 $B$ 型电脑的进货量不超过 $A$ 型电脑的2倍，设购进 $A$ 型电脑 $x$ 台，这100台电脑的销售总利润为 $y$ 元．

（1）求 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式；

（2）该商店购进 $A$ 型、 $B$ 型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？

（3）实际进货时，厂家对 $A$ 型电脑出厂价下调 $a (0 < a < 200)$ 元，且限定商店最多购进 $A$ 型电脑60台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．