如图，在△ABC中，∠C60°，∠A40°．（1）用尺规作图-优题课

如图，将矩形纸片 $ABCD$ 沿直线 $MN$ 折叠，顶点 $B$ 恰好与 $CD$ 边上的动点 $P$ 重合（点 $P$ 不与点 $C$ ， $D$ 重合），折痕为 $MN$ ，点 $M$ ， $N$ 分别在边 $AD$ ， $BC$ 上，连接 $MB$ ， $MP$ ， $BP$ ， $BP$ 与 $MN$ 相交于点 $F$ ．

（1）求证： $ΔBFN ∽ ΔBCP$ ；

（2）①在图2中，作出经过 $M$ ， $D$ ， $P$ 三点的 $⊙ O$ （要求保留作图痕迹，不写做法）；

②设 $AB = 4$ ，随着点 $P$ 在 $CD$ 上的运动，若①中的 $⊙ O$ 恰好与 $BM$ ， $BC$ 同时相切，求此时 $DP$ 的长．

如图，在直角坐标系中， $Rt Δ ABC$ 的直角边 $AC$ 在 $x$ 轴上， $∠ ACB = 90 °$ ， $AC = 1$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象经过 $BC$ 边的中点 $D (3, 1)$ ．

（1）求这个反比例函数的表达式；

（2）若 $ΔABC$ 与 $ΔEFG$ 成中心对称，且 $ΔEFG$ 的边 $FG$ 在 $y$ 轴的正半轴上，点 $E$ 在这个函数的图象上．

①求 $OF$ 的长；

②连接 $AF$ ， $BE$ ，证明四边形 $ABEF$ 是正方形．

为了“天更蓝，水更绿”某市政府加大了对空气污染的治理力度，经过几年的努力，空气质量明显改善，现收集了该市连续30天的空气质量情况作为样本，整理并制作了如下表格和一幅不完整的条形统计图：

空气污染指数 $(ω)$	30	40	70	80	90	110	120	140
天数 $(t)$	1	2	3	5	7	6	4	2

说明：环境空气质量指数 $(AQI)$ 技术规定： $ω ⩽ 50$ 时，空气质量为优； $51 ⩽ ω ⩽ 100$ 时，空气质量为良； $101 ⩽ ω ⩽ 150$ 时，空气质量为轻度污染； $151 ⩽ ω ⩽ 200$ 时，空气质量为中度污染， $\dots$

根据上述信息，解答下列问题：

（1）直接写出空气污染指数这组数据的众数　　，中位数　　；

（2）请补全空气质量天数条形统计图；

（3）根据已完成的条形统计图，制作相应的扇形统计图；

（4）健康专家温馨提示：空气污染指数在100以下适合做户外运动．请根据以上信息，估计该市居民一年（以365天计）中有多少天适合做户外运动？

某内陆城市为了落实国家“一带一路”战略，促进经济发展，增强对外贸易的竞争力，把距离港口 $420 km$ 的普通公路升级成了同等长度的高速公路，结果汽车行驶的平均速度比原来提高了 $50 %$ ，行驶时间缩短了 $2 h$ ，求汽车原来的平均速度．

已知：如图， $E$ ， $F$ 为 $▱ ABCD$ 对角线 $AC$ 上的两点，且 $AE = CF$ ，连接 $BE$ ， $DF$ ，求证： $BE = DF$ ．