某学校一个生物兴趣小组对学校的人工湖中养殖的某种鱼类进行观测-优题课

某学校一个生物兴趣小组对学校的人工湖中养殖的某种鱼类进行观测研究，在饲料充足的前提下，兴趣小组对饲养时间x（单位：月）与这种鱼类的平均体重y（单位：千克）得到一组观测值，如下表：

（月）
（千克）

（1）在给出的坐标系中，画出关于x、y两个相关变量的散点图．

（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量关于变量的线性回归直线方程．
（3）预测饲养满12个月时，这种鱼的平均体重（单位：千克）．
（参考公式：，）

科目数学题型解答题难度中等

如下图，已知正方体 $ABCD - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为２，点Ｅ是正方形 $BC C_{1} B_{1}$ 的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱 $C_{1} D_{1}, A A_{1}$ 的中点．设点 $E_{1}, G_{1}$ 分别是点Ｅ，Ｇ在平面 $DC C_{1} D_{1}$ 内的正投影．

（１）求以Ｅ为顶点，以四边形 $FGAE$ 在平面 $DC C_{1} D_{1}$ 内的正投影为底面边界的棱锥的体积；

（２）证明：直线 $F G_{1} ⊥ 平面 FE E_{1}$ ；

（３）求异面直线 $E_{1} G_{1} 与 EA$ 所成角的正弦值.

根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:

对某城市一年（ 365天）的空气质量进行监测，获得的API数据按照区间 $[0, 50], (50, 100], (100, 150], (150, 200], (200, 250], (250, 300]$ 进行分组，得到频率分布直方图如下图.

（1）求直方图中 $x$ 的值；

（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；

（3）求该城市某一周至少有 2天的空气质量为良或轻微污染的概率.

(结果用分数表示．已知 $5^{7} = 78125, 2^{7} = 128, \frac{3}{1825} + \frac{2}{365} + \frac{7}{1825} + \frac{3}{1825} + \frac{8}{9125} = \frac{123}{9125}, 365 = 73 \times 5$ ）

已知向量 $a = (\sin θ, - 2) 与 b = (1, \cos θ)$ 互相垂直，其中 $θ \in (0, \frac{π}{2})$ ．

（1）求 $\sin θ 和 \cos θ$ 的值；

（2）若 $\sin (θ - φ) = \frac{\sqrt{10}}{10}, 0 < φ < \frac{π}{2}$ ，求 $\cos φ$ 的值．

已知抛物线 $C ： x^{2} = 2 py (p > 0)$ 上一点 $A (m, 4)$ 到其焦点的距离为 $\frac{17}{4}$ .

（Ⅰ）求 p于 m的值；

（Ⅱ）设抛物线C上一点 p的横坐标为 t（ t>0）,过 p的直线交C于另一点 Q，交 x轴于 M点，过点 Q作 PQ的垂线交 C于另一点 N.若 MN是 C的切线，求 t的最小值;

已知函数 $f (x) = x^{3} + (1 - a) x^{2} - a (a + 2) x + b (a, b \in R)$ .

（Ⅰ）若函数 $f (x)$ 的图像过原点，且在原点处的切线斜率是-3，求a，b的值；

（Ⅱ）若函数 $f (x)$ 在区间 $(- 1, 1)$ 上不单调，求a的取值范围.