如图，椭圆的离心率为，轴被曲线截得的线段长等于的短轴长．与轴-优题课

已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{t} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的焦点在 $x$ 轴上， A是 E的左顶点，斜率为 $k (k > 0)$ 的直线交 E于 A, M两点，点 N在 E上， $MA ⊥ NA$ .

（1）当 $t = 4$ ， $| AM | = | AN |$ 时，求 $△ AMN$ 的面积；

（2）当 $2 | AM | = | AN |$ 时，求 k的取值范围.

如图，菱形ABCD的对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$ ， $AB = 5$ ， $AC = 6$ ，点 $E, F$ 分别在 $AD, CD$ 上， $AE = CF = \frac{5}{4}$ ， $EF$ 交 $BD$ 于点 $H$ .将 $△ DEF$ 沿 $EF$ 折到 $△ D^{'} EF$ 的位置， $O D^{'} = \sqrt{10}$ .

（1）证明： $D^{'} H ⊥$ 平面 $ABCD$ ；

（2）求二面角 $B - D^{'} A - C$ 的正弦值.

某险种的基本保费为 $a$ （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：

上年度出险次数	0	1	2	3	4	$\geq$ 5
保费	0.85a	a	1.25a	1.5a	1.75a	2a

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：

一年内出险次数	0	1	2	3	4	$\geq$ 5
概率	0.30	0.15	0.20	0.20	0.10	0. 05

（1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；

（2）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；

（3）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.

$S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，且 $a_{n} = 1 ， S_{7} = 28 .$ 记 $b_{n} = [\lg a_{n}]$ ，其中 $[x]$ 表示不超过x的最大整数，如 $[0.9] =0 ， [\lg 99] =1$ .

（1）求 $b_{1} ， b_{11} ， b_{101}$ ；

（2）求数列 ${b_{n}}$ 的前1 000项和.

设函数 $f (x) = {（ x - 1 ）}^{3} - ax - b, x \in R$ ，其中 $a, b \in R$ 。

（1）求 $f (x)$ 的单调区间；

（2）若 $f (x)$ 存在极点 $x_{0}$ ，且 $f (x_{1}) = f (x_{0})$ ，其中 $x_{1} \neq x_{0}$ ，求证： $x_{1} + 2_{x 0} = 3$ ；

（3）设 $a ＞ 0$ ,函数 $g (x) = ∣ f (x) ∣$ ,求证： $g (x)$ 在区间 $[0, 2]$ 上的最大值不小于 $\frac{1}{4}$ .