如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标系原点，矩形OABC的边-优题课

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $AD$ 是 $∠ BAC$ 的平分线，以 $AD$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $AB$ 边于点 $E$ ，连接 $CE$ ，过点 $D$ 作 $DF / / CE$ ，交 $AB$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $DF$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $BD = 5$ ， $\sin ∠ B = \frac{3}{5}$ ，求线段 $DF$ 的长．

如图，直线 $y = kx + 2$ 与双曲线 $y = \frac{1.5}{x}$ 相交于点 $A$ 、 $B$ ，已知点 $A$ 的横坐标为1．

（1）求直线 $y = kx + 2$ 的解析式及点 $B$ 的坐标；

（2）以线段 $AB$ 为斜边在直线 $AB$ 的上方作等腰直角三角形 $ABC$ ．求经过点 $C$ 的双曲线的解析式．

如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度 $D$ 点处时，无人机测得操控者 $A$ 的俯角为 $75 °$ ，测得小区楼房 $BC$ 顶端点 $C$ 处的俯角为 $45 °$ ．已知操控者 $A$ 和小区楼房 $BC$ 之间的距离为45米，小区楼房 $BC$ 的高度为 $15 \sqrt{3}$ 米．

（1）求此时无人机的高度；

（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于 $AB$ 的方向，并以5米 $/$ 秒的速度继续向前匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？（假定点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 都在同一平面内．参考数据： $\tan 75 ° = 2 + \sqrt{3}$ ， $\tan 15 ° = 2 - \sqrt{3}$ ．计算结果保留根号）

“此生无悔入华夏，来世再做中国人！”自疫情暴发以来，我国科研团队经过不懈努力，成功地研发出了多种“新冠”疫苗，并在全国范围内免费接种．截止2021年5月18日 $16 : 20$ ，全球接种“新冠”疫苗的比例为 $18.29 %$ ；中国累计接种4.2亿剂，占全国人口的 $29.32 %$ ．以下是某地甲、乙两家医院5月份某天各年龄段接种疫苗人数的频数分布表和接种总人数的扇形统计图：

	甲医院			乙医院
年龄段	频数	频率	频数		频率
$18 - 29$ 周岁	900	0.15	400		0.1
$30 - 39$ 周岁	$a$	0.25	1000		0.25
$40 - 49$ 周岁	2100	$b$	$c$		0.225
$50 - 59$ 周岁	1200	0.2	1200		0.3
60周岁以上	300	0.05	500		0.125

（1）根据上面图表信息，回答下列问题：

①填空： $a =$ 　　， $b =$ 　　， $c =$ 　　；

②在甲、乙两医院当天接种疫苗的所有人员中， $40 - 49$ 周岁年龄段人数在扇形统计图中所占圆心角为　　；

（2）若 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三人都于当天随机到这两家医院接种疫苗，求这三人在同一家医院接种的概率．

为增强学生体质，丰富学生课余活动，学校决定添置一批篮球和足球．甲、乙两家商场以相同的价格出售同种品牌的篮球和足球，已知篮球价格为200元 $/$ 个，足球价格为150元 $/$ 个．

（1）若学校计划用不超过3550元的总费用购买这款篮球和足球共20个，且购买篮球的数量多于购买足球数量的 $\frac{2}{3}$ ．学校有哪几种购买方案？

（2）若甲、乙两商场各自推出不同的优惠方案：甲商场累计购物超过500元后，超出500元的部分按 $90 %$ 收费；乙商场累计购物超过2000元后，超出2000元的部分按 $80 %$ 收费．若学校按（1）中的方案购买，学校到哪家商场购买花费少？