如图1，AB为⊙O的直径，点P是直径AB上任意一点，过点P作-优题课

如图1，AB为⊙O的直径，点P是直径AB上任意一点，过点P作弦CD⊥AB，垂足为P，过点B的直线与线段AD的延长线交于点F，且∠F=∠ABC．

（1）若CD=2，BP=4，求⊙O的半径；
（2）求证：直线BF是⊙O的切线；
（3）当点P与点O重合时，过点A作⊙O的切线交线段BC的延长线于点E，在其它条件不变的情况下，判断四边形AEBF是什么特殊的四边形？请在图2中补全图象并证明你的结论．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：圆幂定理

某居民楼紧挨一座山坡 $AB$ ，经过地质人员勘测，当坡度不超过 $45 °$ 时，可以确保山体不滑坡，如图所示，已知 $AE / / BD$ ，斜坡 $AB$ 的坡角 $∠ ABD = 60 °$ ，为防止滑坡，现对山坡进行改造，改造后，斜坡 $BC$ 与地面 $BD$ 成 $45 °$ 角， $AC = 20$ 米．求斜坡 $BC$ 的长是多少米？（结果精确到0.1米，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73)$

学校为了了解全校1600名学生对“初中学生带手机上学”现象的看法，在全校随机抽取了若干名学生进行问卷调查．问卷给出了四种看法供学生选择，每人只能选一种，且不能不选．将调查结果整理后，绘制成如图①、图②所示的条形统计图与扇形统计图（均不完整）．

（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？

（2）补全条形统计图和扇形统计图；

（3）估计全校有多少名学生对“初中学生带手机上学”现象持“不赞同”的看法．

如图是一个转盘，转盘被平均分成4等份，即被分成4个大小相等的扇形，4个扇形分别标有数字1、2、3、4，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，每次指针落在每一扇形的机会均等（若指针恰好落在分界线上则重转）．

（1）图中标有“1”的扇形至少绕圆心旋转　　度能与标有“4”的扇形的起始位置重合；

（2）现有一本故事书，姐妹俩商定通过转盘游戏定输赢（赢的一方先看）．游戏规则是：姐妹俩各转动一次转盘，两次转动后，若指针所指扇形上的数字之积为偶数，则姐姐赢；若指针所指扇形上的数字之积为奇数，则妹妹赢．这个游戏规则对双方公平吗？请利用树状图或列表法说明理由．

如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx + 3$ 经过点 $A (- 1, 0)$ 和点 $B (4, 0)$ ，且与 $y$ 轴相交于点 $C$ ．点 $D$ 是线段 $BC$ 上的一个动点（不与点 $B$ ， $C$ 重合），设点 $D$ 的横坐标为 $t$ ，过点 $D$ 作 $DE / / y$ 轴交抛物线于点 $E$ ，点 $F$ 在 $DE$ 的延长线上，且 $EF = DE$ ，过点 $F$ 作 $FG ⊥$ 直线 $BC$ ，垂足为点 $G$ ．

（1）求此抛物线的解析式和点 $C$ 的坐标；

（2）设 $ΔDFG$ 的周长为 $L$ ，求 $L$ 关于 $t$ 的函数关系式；

（3）直线 $m$ 经过点 $C$ ，且直线 $m / / x$ 轴，点 $P$ 是直线 $m$ 上任意一点，过点 $P$ 分别作 $PQ ⊥$ 直线 $BC$ ， $PR ⊥ x$ 轴，垂足分别为点 $Q$ ， $R$ ，若以三点 $P$ ， $Q$ ， $R$ 为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点 $P$ 的坐标．

如图①， $ΔAOB ≅ ΔCOD$ ，延长 $AB$ ， $CD$ 相交于点 $E$ ．

（1）求证： $DE = BE$ ；

（2）将两个三角形绕点 $O$ 旋转，当 $∠ AEC = 90 °$ 时（如图② $)$ ，连接 $BC$ 、 $AD$ ．取 $BC$ 的中点 $F$ ，连接 $EF$ ，则线段 $EF$ 、 $AD$ 的数量关系为　　，位置关系为　　；

（3）将图②中的线段 $EB$ ， $ED$ 同时绕点 $E$ 顺时针方向旋转到图③所示位置，连接 $AD$ 、 $BC$ ，取 $BC$ 的中点 $F$ ，连接 $EF$ ，请你判断（2）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．