已知函数,其中a>0.
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若直线x﹣y﹣1=0是曲线y=f(x)的切线,求实数a的值;
(Ⅲ)设g(x)=xlnx﹣x2f(x),求g(x)在区间[1,e]上的最小值.(其中e为自然对数的底数)
(本小题满分12分)某工厂生产一种产品的原材料费为每件40元,若用x表示该厂生产这种产品的总件数,则电力与机器保养等费用为每件0.05x元,又该厂职工工资固定支出12500元。
(1)把每件产品的成本费P(x)(元)表示成产品件数x的函数,并求每件产品的最低成本费;
(2)如果该厂生产的这种产品的数量x不超过3000件,且产品能全部销售,根据市场调查:每件产品的销售价Q(x)与产品件数x有如下关系:,试问生产多少件产品,总利润最高?(总利润=总销售额-总的成本)
本小题满分12分)已知函数为偶函数,其图象上相邻的两个最低点间的距离为
。
(1)求的解析式;
(2)若,求
的值。
(本小题满分14分)已知函数
(1)求函数的单调递增区间;
(2)记函数的图象为曲线C.设点A(x1,y1),B(x2,y2)是曲线C上的不同两点.如果在曲线C上存在点M(x0,y0),使得:①
;②曲线C在点M处的切线平行于直线AB,则称函数F(x)夺在“中值相依切线”,
试问:函数f(x)是否存在“中值相依切线”,请说明理由.
本小题满分13分)已知圆,定点A(2,0),M为圆C上一动点,点P在AM上,点N在C、M上(C为圆心),且满足
,设点N的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程;
(2)过点B(m,0)作倾斜角为的直线
交曲线E于C、D两点.若点Q(1,0)恰在以线段CD为直径的圆的内部,求实数m的取值范围.
(本小题满分12分)已知数列是首项为
,公比
的等比数列.设
,数列
满足
以.
(1)求证:数列成等差数列;
(2)求数列的前n项和
(3)若对一切正整数n恒成立,求实数m的取值范围.