如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，、分别是、中点．（1）求-优题课

如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，、分别是、中点．

（1）求证：平面；
（2）求证：．

科目数学题型解答题难度中等

如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D, E$ 分别是 $A B, B B_{1}$ 的中点.

（Ⅰ）证明： $B C_{1} / /$ 平面 $A_{1} C D$ ;
（Ⅱ）设 $A A_{1} = A C = C B = 2, A B = 2 \sqrt{2}$ ，求三棱锥 $C - A_{1_{}} D E$ 的体积.

已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差不为零， $a_{1} = 25$ ，且 $a_{1}, a_{11}, a_{13}$ 成等比数列.
（Ⅰ）求 ${a_{n}}$ 的通项公式；
（Ⅱ）求 $a_{1} + a_{4} + a_{7} + . . . + a_{3 n - 2}$ .

设 $a, b, c$ 均为正数,且 $a + b + c = 1$ ,证明：
（Ⅰ） $a b + b c + a c \leq \frac{1}{3}$

（Ⅱ） $\frac{a^{2}}{b} + \frac{b^{2}}{c} + \frac{c^{2}}{a} \geq 1$

如图， $C D$ 为 $△ A B C$ 外接圆的切线， $A B$ 的延长线交直线 $C D$ 于点 $D, E, F$ 分别为弦 $A B$ 与弦 $A C$ 上的点，且 $B C \cdot A E = D C \cdot A F, B, E, F, C$ 四点共圆.

（Ⅰ）证明： $C A$ 是 $△ A B C$ 外接圆的直径；
（Ⅱ）若 $D B = B E = E A$ ,求过 $B, E, F, C$ 四点的圆的面积与 $△ A B C$ 外接圆面积的比值.

已知函数 $f (x) = e^{x} - \ln (x + m)$ .
 (Ι)设 $x = 0$ 是 $f (x)$ 的极值点，求 $m$ ，并讨论 $f (x)$ 的单调性；

（Ⅱ）当 $m \leq 2$ 时，证明 $f (x) > 0$ .