如图（1）是一个长为，宽为（＞）的长方形，用剪刀沿图中虚线（-优题课

为了解某校学生对《最强大脑》、《朗读者》、《中国诗词大会》、《出彩中国人》四个电视节目的喜爱情况，随机抽取了 $x$ 名学生进行调查统计（要求每名学生选出并且只能选出一个自己最喜爱的节目），并将调查结果绘制成如图统计图表：

学生最喜爱的节目人数统计表

节目	人数（名 $)$	百分比
最强大脑	5	$10 %$
朗读者	15	$b %$
中国诗词大会	$a$	$40 %$
出彩中国人	10	$20 %$

根据以上提供的信息，解答下列问题：

（1） $x =$ 　　， $a =$ 　　， $b =$ 　　；

（2）补全上面的条形统计图；

（3）若该校共有学生1000名，根据抽样调查结果，估计该校最喜爱《中国诗词大会》节目的学生有多少名．

如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + 2 x + c$ 与 $y$ 轴交于点 $A (0, 6)$ ，与 $x$ 轴交于点 $B (6, 0)$ ，点 $P$ 是线段 $AB$ 上方抛物线上的一个动点．

（1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；

（2）当点 $P$ 移动到抛物线的什么位置时，使得 $∠ PAB = 75 °$ ，求出此时点 $P$ 的坐标；

（3）当点 $P$ 从 $A$ 点出发沿线段 $AB$ 上方的抛物线向终点 $B$ 移动，在移动中，点 $P$ 的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动；与此同时点 $M$ 以每秒1个单位长度的速度沿 $AO$ 向终点 $O$ 移动，点 $P$ ， $M$ 移动到各自终点时停止．当两个动点移动 $t$ 秒时，求四边形 $PAMB$ 的面积 $S$ 关于 $t$ 的函数表达式，并求 $t$ 为何值时， $S$ 有最大值，最大值是多少？

如图， $⊙ O$ 是 $ΔABC$ 的外接圆， $O$ 点在 $BC$ 边上， $∠ BAC$ 的平分线交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，连接 $BD$ 、 $CD$ ，过点 $D$ 作 $BC$ 的平行线，与 $AB$ 的延长线相交于点 $P$ ．

（1）求证： $PD$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）求证： $ΔPBD ∽ ΔDCA$ ；

（3）当 $AB = 6$ ， $AC = 8$ 时，求线段 $PB$ 的长．

如图，分别位于反比例函数 $y = \frac{1}{x}$ ， $y = \frac{k}{x}$ 在第一象限图象上的两点 $A$ 、 $B$ ，与原点 $O$ 在同一直线上，且 $\frac{OA}{OB} = \frac{1}{3}$ ．

（1）求反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的表达式；

（2）过点 $A$ 作 $x$ 轴的平行线交 $y = \frac{k}{x}$ 的图象于点 $C$ ，连接 $BC$ ，求 $ΔABC$ 的面积．

在推进城乡义务教育均衡发展工作中，我市某区政府通过公开招标的方式为辖区内全部乡镇中学采购了某型号的学生用电脑和教师用笔记本电脑，其中， $A$ 乡镇中学更新学生用电脑110台和教师用笔记本电脑32台，共花费30.5万元； $B$ 乡镇中学更新学生用电脑55台和教师用笔记本电脑24台，共花费17.65万元．

（1）求该型号的学生用电脑和教师用笔记本电脑单价分别是多少万元？

（2）经统计，全部乡镇中学需要购进的教师用笔记本电脑台数比购进的学生用电脑台数的 $\frac{1}{5}$ 少90台，在两种电脑的总费用不超过预算438万元的情况下，至多能购进的学生用电脑和教师用笔记本电脑各多少台？