某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：
，其中
是仪器的月产量．
（1）将利润
表示为月产量的函数
（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？（总收益=总成本+利润）
已知点
，点
，直线
、
都是圆
的切线（
点不在
轴上）。
⑴求过点且焦点在
轴上抛物线的标准方程；
⑵过点
作直线
与⑴中的抛物线相交于
、
两点，问是否存在定点
，使
.
为常数？若存在，求出点的坐标与常数；若不存在，请说明理由。
一学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A、B、C、D、E五项考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试。已知每一项测试都是相互独立的，该生参加A、B、C、D四项考试不合格的概率均为
，参加第五项不合格的概率为
。
⑴求该生被录取的概率；
⑵记该生参加考试的项数为
，求的分布列和期望。
一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中
、
分别是
、
的中点，
是
上的一动点，主视图与俯视图都为正方形。
⑴求证：
；
⑵当
时，在棱
上确定一点
，使得
∥平面
，并给出证明。
⑶求二面角
的平面角余弦值。
已知数列
的各项全为正数，观察流程图，当
时，
；当
时，
；
⑴写出
时，
的表达式（用,
等表示）；
⑵求的通项公式；
⑶令
，求
.
（本小题满分14分）已知函数
，其中
（Ⅰ）求
在
上的单调区间；
（Ⅱ）求在
（
为自然对数的底数）上的最大值；
（III）对任意给定的正实数
，曲线
上是否存在两点
、
，使得
是以原点
为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在
轴上？