某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健产-优题课

某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健产品的收益与投资成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比. 已知投资1万元时两类产品的收益分别为万元和0.5万元.
（1）分别写出两类产品的收益与投资的函数关系；
（2）该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问，怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？

科目数学题型解答题难度中等

已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F (- c, 0)$ ,离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，点M在椭圆上且位于第一象限，直线 $F M$ 被圆 $x^{2} + y^{2} = \frac{b^{2}}{4}$ 截得的线段的长为 $c$ ， $|F M| = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

（Ⅰ）求直线 $F M$ 的斜率；
（Ⅱ）求椭圆的方程；
（Ⅲ）设动点 $P$ 在椭圆上，若直线 $F P$ 的斜率大于 $\sqrt{2}$ ，求直线 $O P$ （ $O$ 为原点）的斜率的取值范围.

已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 2} = q a_{n}$ ( $q 为实数，且 q \neq 1$ ), $n \in N^{*}$ , $a_{1} = 1, a_{2} = 2$ ，且 $a_{2} + a_{3}$ , $a_{3} + a_{4}$ , $a_{4} + a_{5}$ 成等差数列.
（Ⅰ）求 $q$ 的值和 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（Ⅱ）设 $b_{n} = \frac{\log_{2} a_{2 n}}{a_{2 n - 1}}$ , $n \in N^{*}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和.

如图，在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，侧棱 $A_{1} A ⊥ 底面 A B C D$ , $A B ⊥ A C, A B = 1, A C = A A_{1} = 2, A D = C D = \sqrt{5}$ ,且点M和N分别为 $B_{1} C 和 D_{1} D$ 的中点.

（Ⅰ）求证： $M N ∥$ 平面 $A B C D$ ；
（Ⅱ）求二面角 $D_{1} - A C - B_{1}$ 的正弦值；
（Ⅲ）设 $E$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 上的点，若直线 $N E$ 和平面 $A B C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{1}{3}$ ，求线段 $A_{1} E$ 的长

为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
（Ⅰ）设 $A$ 为事件"选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会"求事件 $A$ 发生的概率；
（Ⅱ）设 $X$ 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望.

已知函数 $f (x) = \sin^{2} x - \sin^{2} (x - \frac{π}{6}), x \in R$

（Ⅰ）求 $f (x)$ 最小正周期;
（Ⅱ）求 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3}, \frac{π}{4}]$ 上的最大值和最小值.

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