记函数f(x)=log2(2x﹣3)的定义域为集合M,函数g(x)=的定义域为集合N.求:
(1)集合M,N;
(2)集合M∩N,∁R(M∪N).
(本题满分13分)
设椭圆:
过
,
两点,其中
为椭圆的
离心率,为坐标原点.
(I)求椭圆的方程;
(II)过椭圆右焦点的一条直线
与椭圆交于
两点,若
,求弦
的长.
(本题满分13分)
已知函数.
(I)若函数在
处的切线与
轴平行,求
值;
(II)讨论函数在其定义域内的单调性;
(III)定义:若函数在区间D上任意
都有
,则称函数
是区间D上的凹函数.设函数
,其中
是
的导函数.根据上述定义,判断函数
是否为其定义域内的凹函数,并说明理由.
(本题满分13分)
已知正项数列的前
项和为
,且满足
,
.
(I)求、
的值,并求数列
的通项公式;
(II)设,数列
的前
项和为
,证明:
.
(本题满分12分)
如图,在四棱锥中,
为正三角形,
⊥平面
,
⊥平面
,
为棱
的中点,
.
(I)求证:∥平面
;
(II)求证:平面⊥平面
.
(本小题满分12分)为了解甲、乙两校高三年级学生某次期末联考地理成绩情况,从这两学校中分别随机抽取30名高三年级的地理成绩(百分制)作为样本,样本数据的茎叶图如图所示:
(I)若乙校高三年级每位学生被抽取的概率为0.15,求乙校高三年级学生总人数;
(II)根据茎叶图,分析甲、乙两校高三年级学生在这次联考中地理成绩;
(III)从样本中甲、乙两校高三年级学生地理成绩不及格(低于60分为不及格)的学生中随机抽取2人,求至少抽到一名乙校学生的概率.