如图，AB16，O为AB中点，点C在线段OB上（不与点O，B-优题课

如图， $AB = 16$ ， $O$ 为 $AB$ 中点，点 $C$ 在线段 $OB$ 上（不与点 $O$ ， $B$ 重合），将 $OC$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $270 °$ 后得到扇形 $COD$ ， $AP$ ， $BQ$ 分别切优弧 $\hat{CD}$ 于点 $P$ ， $Q$ ，且点 $P$ ， $Q$ 在 $AB$ 异侧，连接 $OP$ ．

（1）求证： $AP = BQ$ ；

（2）当 $BQ = 4 \sqrt{3}$ 时，求 $\hat{QD}$ 的长（结果保留 $π)$ ；

（3）若 $ΔAPO$ 的外心在扇形 $COD$ 的内部，求 $OC$ 的取值范围．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：切线的性质全等三角形的判定与性质三角形的内切圆与内心弧长的计算

【问题提出】

如图（1），在 $△ A B C$ 中， $A B ＝ A C$ ， $D$ 是 $A C$ 的中点，延长 $B C$ 至点 $E$ ，使 $D E ＝ D B$ ，延长 $E D$ 交 $A B$ 于点 $F$ ，探究 $\frac{AF}{AB}$ 的值．

【问题探究】

（1）先将问题特殊化．如图（2），当 $∠ B A C ＝ 60 °$ 时，直接写出 $\frac{AF}{AB}$ 的值；

（2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．

【问题拓展】

如图（3），在 $△ A B C$ 中， $A B ＝ A C$ ， $D$ 是 $A C$ 的中点， $G$ 是边 $B C$ 上一点， $\frac{CG}{BC} = \frac{1}{n} （ n ＜ 2 ）$ ，延长 $B C$ 至点 $E$ ，使 $D E ＝ D G$ ，延长 $E D$ 交 $A B$ 于点 $F$ ．直接写出 $\frac{AF}{AB}$ 的值（用含 $n$ 的式子表示）．

在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在 $A$ 处开始减速，此时白球在黑球前面 $70 c m$ 处．

小聪测量黑球减速后的运动速度 $v$ （单位： $c m / s$ ）、运动距离 $y$ （单位： $c m$ ）随运动时间 $t$ （单位： $s$ ）变化的数据，整理得下表．

运动时间t/s	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
运动速度v/cm/s	$10$	$9.5$	9	$8.5$	$8$
运动距离y/cm	$0$	$9.75$	19	$27.75$	$36$

小聪探究发现，黑球的运动速度 $v$ 与运动时间 $t$ 之间成一次函数关系，运动距离 $y$ 与运动时间 $t$ 之间成二次函数关系．

（1）直接写出 $v$ 关于 $t$ 的函数解析式和 $y$ 关于 $t$ 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

（2）当黑球减速后运动距离为 $64 c m$ 时，求它此时的运动速度；

（3）若白球一直以 $2 c m / s$ 的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由．

如图，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 经过 $△ A B C$ 的顶点 $C$ ， $A E ， B E$ 分别平分 $∠ B A C$ 和 $∠ A B C$ ， $A E$ 的延长线交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，连接 $B D$ ．

（1）判断 $△ B D E$ 的形状，并证明你的结论；

（2）若 $A B ＝ 10$ ， $B E ＝ 2 \sqrt{10}$ ，求 $B C$ 的长．

为庆祝中国共青团成立 $100$ 周年，某校开展四项活动： $A$ 项参观学习， $B$ 项团史宣讲， $C$ 项经典诵读， $D$ 项文学创作，要求每名学生在规定时间内必须且只能参加其中一项活动．该校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们参加活动的意向，将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．

（1）本次调查的样本容量是＿＿＿＿＿， $B$ 项活动所在扇形的圆心角的大小是＿＿＿＿＿，条形统计图中 $C$ 项活动的人数是＿＿＿＿＿；

（2）若该校约有 $2000$ 名学生，请估计其中意向参加“参观学习”活动的人数．

如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $∠ B ＝ 80 °$ ．

（1）求 $∠ B A D$ 的度数；

（2） $A E$ 平分 $∠ B A D$ 交 $B C$ 于点 $E$ ， $∠ B C D ＝ 50 °$ ．求证： $A E ∥ D C$ ．