如图，在RtΔABC中，∠C90°，∠A30°，AB4，动点-优题课

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ， $AB = 4$ ，动点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿 $AB$ 以每秒2个单位长度的速度向终点 $B$ 运动．过点 $P$ 作 $PD ⊥ AC$ 于点 $D$ （点 $P$ 不与点 $A$ 、 $B$ 重合），作 $∠ DPQ = 60 °$ ，边 $PQ$ 交射线 $DC$ 于点 $Q$ ．设点 $P$ 的运动时间为 $t$ 秒．

（1）用含 $t$ 的代数式表示线段 $DC$ 的长；

（2）当点 $Q$ 与点 $C$ 重合时，求 $t$ 的值；

（3）设 $ΔPDQ$ 与 $ΔABC$ 重叠部分图形的面积为 $S$ ，求 $S$ 与 $t$ 之间的函数关系式；

（4）当线段 $PQ$ 的垂直平分线经过 $ΔABC$ 一边中点时，直接写出 $t$ 的值．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：二次函数的应用等腰三角形的判定与性质三角形综合题

如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧 $OB$ 与墙 $MN$ 平行且距离为0.8米．已知小汽车车门宽 $AO$ 为1.2米，当车门打开角度 $∠ AOB$ 为 $40 °$ 时，车门是否会碰到墙？请说明理由．（参考数据： $\sin 40 ° \approx 0.64$ ； $\cos 40 ° \approx 0.77$ ； $\tan 40 ° \approx 0.84)$

在直角坐标系中，过原点 $O$ 及点 $A (8, 0)$ ， $C (0, 6)$ 作矩形 $OABC$ 、连接 $OB$ ，点 $D$ 为 $OB$ 的中点，点 $E$ 是线段 $AB$ 上的动点，连接 $DE$ ，作 $DF ⊥ DE$ ，交 $OA$ 于点 $F$ ，连接 $EF$ ．已知点 $E$ 从 $A$ 点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段 $AB$ 上移动，设移动时间为 $t$ 秒．

（1）如图1，当 $t = 3$ 时，求 $DF$ 的长．

（2）如图2，当点 $E$ 在线段 $AB$ 上移动的过程中， $∠ DEF$ 的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出 $\tan ∠ DEF$ 的值．

（3）连接 $AD$ ，当 $AD$ 将 $ΔDEF$ 分成的两部分的面积之比为 $1 : 2$ 时，求相应的 $t$ 的值．

问题背景

如图1，在正方形 $ABCD$ 的内部，作 $∠ DAE = ∠ ABF = ∠ BCG = ∠ CDH$ ，根据三角形全等的条件，易得 $ΔDAE ≅ ΔABF ≅ ΔBCG ≅ ΔCDH$ ，从而得到四边形 $EFGH$ 是正方形．

类比探究

如图2，在正 $ΔABC$ 的内部，作 $∠ BAD = ∠ CBE = ∠ ACF$ ， $AD$ ， $BE$ ， $CF$ 两两相交于 $D$ ， $E$ ， $F$ 三点 $(D$ ， $E$ ， $F$ 三点不重合）

（1） $ΔABD$ ， $ΔBCE$ ， $ΔCAF$ 是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明．

（2） $ΔDEF$ 是否为正三角形？请说明理由．

（3）进一步探究发现， $ΔABD$ 的三边存在一定的等量关系，设 $BD = a$ ， $AD = b$ ， $AB = c$ ，请探索 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足的等量关系．

定义：如图1，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $P$ 在该抛物线上 $(P$ 点与 $A$ 、 $B$ 两点不重合），如果 $ΔABP$ 的三边满足 $A P^{2} + B P^{2} = A B^{2}$ ，则称点 $P$ 为抛物线 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 的勾股点．

（1）直接写出抛物线 $y = - x^{2} + 1$ 的勾股点的坐标．

（2）如图2，已知抛物线 $C : y = a x^{2} + bx (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $P (1, \sqrt{3})$ 是抛物线 $C$ 的勾股点，求抛物线 $C$ 的函数表达式．

（3）在（2）的条件下，点 $Q$ 在抛物线 $C$ 上，求满足条件 $S_{ΔABQ} = S_{ΔABP}$ 的 $Q$ 点（异于点 $P)$ 的坐标．

“五 $\cdot$ 一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．

根据以下信息，解答下列问题：

（1）设租车时间为 $x$ 小时，租用甲公司的车所需费用为 $y_{1}$ 元，租用乙公司的车所需费用为 $y_{2}$ 元，分别求出 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 关于 $x$ 的函数表达式；

（2）请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算．