如图1，过点A(8,0)的抛物线yax2bx与直线y23x交-优题课

题文

如图1，过点 $A (8, 0)$ 的抛物线 $y = a x^{2} + bx$ 与直线 $y = \frac{2}{3} x$ 交于点 $B (6, n)$ ．点 $P$ 是线段 $OB$ 上一动点，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为点 $D$ ，交抛物线于点 $E$ ．设 $ΔBOE$ 的面积为 $S$ ，点 $P$ 的横坐标为 $m$ ．

（1）请直接写出 $n$ 的值及抛物线的解析式．

（2）为探究 $S$ 最大时点 $P$ 的位置，甲、乙两同学结合图形给出如下解析：

甲：借助 $PE$ 的长与三角形面积公式，求出 $S$ 关于 $m$ 的函数关系式，可确定点 $P$ 的位置．

乙：当点 $P$ 运动到点 $O$ 或点 $B$ 时， $S$ 的值可看作0，则当点 $P$ 运动到 $OB$ 中点时， $S$ 最大，即 $S$ 最大时，点 $P$ 为 $OB$ 的中点．

请参考甲的方法求出 $S$ 最大时点 $P$ 的坐标，进而判断乙的猜想是否正确，并说明理由．

（3）拓展探究：如图2，直线 $l$ 与任意抛物线相交于 $M$ 、 $N$ 两点， $G$ 是线段 $MN$ 上的一个动点，过点 $G$ 作抛物线对称轴的平行线，交该抛物线于点 $H$ ．当 $ΔMHN$ 的面积最大时，点 $G$ 一定是线段 $MN$ 的中点吗？试作出判断并说明理由．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：二次函数的性质二次函数的最值待定系数法求二次函数解析式二次函数的应用二次函数综合题

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根据给出的下列两种情况，请用直尺和圆规找到一条直线，把△ABC恰好分割成两个等腰三角形（不写做法，但需保留作图痕迹）；并根据每种情况分别猜想：∠A与∠B有怎样的数量关系时才能完成以上作图？并举例验证猜想所得结论．
（1）如图①△ABC中，∠C=90°，∠A=24°

①作图：
②猜想：
③验证：
（2）如图②△ABC中，∠C=84°，∠A=24°．

①作图：
②猜想：
③验证：

如图，直线PM切⊙O于点M，直线PO交⊙O于A、B两点，弦AC∥PM，连接OM、BC．
求证：（1）△ABC∽△POM；（2）2OA²=OP•BC．

甲、乙两名同学进行射击训练，在相同条件下各射靶5次，成绩统计如下：

命中环数	7	8	9	10
甲命中相应环数的次数	2	2	0	1
乙命中相应环数的次数	1	3	1	0

若从甲、乙两人射击成绩方差的角度评价两人的射击水平，则谁的射击成绩更稳定些？

依据下列解方程的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据．
解：原方程可变形为（　　）
去分母，得3（3x+5）=2（2x﹣1）．（　）
去括号，得9x+15=4x﹣2．（　　）
（　　），得9x﹣4x=﹣15﹣2．（　　）
合并，得5x=﹣17．（　　）
（　　），得x=．（　）

在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+3与x轴的两个交点分别为A（﹣3，0）、B（1，0），过顶点C作CH⊥x轴于点H．
（1）直接填写：a=　　，b=　　，顶点C的坐标为　　；
（2）在y轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC于点Q，当△PCQ与△ACH相似时，求点P的坐标．

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