如图1，过点$A(8,0)$的抛物线$y=a{x}^2+\mathit{bx}$与直线$y=\frac{2}{3}x$交于点$B(6,n)$．点$P$是线段$\mathit{OB}$上一动点，过点$P$作$x$轴的垂线，垂足为点$D$，交抛物线于点$E$．设$\mathit{\Delta BOE}$的面积为$S$，点$P$的横坐标为$m$．

（1）请直接写出$n$的值及抛物线的解析式．

（2）为探究$S$最大时点$P$的位置，甲、乙两同学结合图形给出如下解析：

甲：借助$\mathit{PE}$的长与三角形面积公式，求出$S$关于$m$的函数关系式，可确定点$P$的位置．

乙：当点$P$运动到点$O$或点$B$时，$S$的值可看作0，则当点$P$运动到$\mathit{OB}$中点时，$S$最大，即$S$最大时，点$P$为$\mathit{OB}$的中点．

请参考甲的方法求出$S$最大时点$P$的坐标，进而判断乙的猜想是否正确，并说明理由．

（3）拓展探究：如图2，直线$l$与任意抛物线相交于$M$、$N$两点，$G$是线段$\mathit{MN}$上的一个动点，过点$G$作抛物线对称轴的平行线，交该抛物线于点$H$．当$\mathit{\Delta MHN}$的面积最大时，点$G$一定是线段$\mathit{MN}$的中点吗？试作出判断并说明理由．

科目 数学   题型 解答题   难度 较难

知识点： 二次函数的性质 二次函数的最值 待定系数法求二次函数解析式 二次函数的应用 二次函数综合题