综合与实践背景阅读早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：-优题课

综合与实践

背景阅读早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”．它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中，为了方便，在本题中，我们把三边的比为 $3 : 4 : 5$ 的三角形称为 $(3$ ，4， $5)$ 型三角形，例如：三边长分别为9，12，15或 $3 \sqrt{2}$ ， $4 \sqrt{2}$ ， $5 \sqrt{2}$ 的三角形就是 $(3$ ，4， $5)$ 型三角形，用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形．

实践操作如图1，在矩形纸片 $ABCD$ 中， $AD = 8 cm$ ， $AB = 12 cm$ ．

第一步：如图2，将图1中的矩形纸片 $ABCD$ 沿过点 $A$ 的直线折叠，使点 $D$ 落在 $AB$ 上的点 $E$ 处，折痕为 $AF$ ，再沿 $EF$ 折叠，然后把纸片展平．

第二步：如图3，将图2中的矩形纸片再次折叠，使点 $D$ 与点 $F$ 重合，折痕为 $GH$ ，然后展平，隐去 $AF$ ．

第三步：如图4，将图3中的矩形纸片沿 $AH$ 折叠，得到△ $AD' H$ ，再沿 $AD'$ 折叠，折痕为 $AM$ ， $AM$ 与折痕 $EF$ 交于点 $N$ ，然后展平．

问题解决

（1）请在图2中证明四边形 $AEFD$ 是正方形．

（2）请在图4中判断 $NF$ 与 $ND'$ 的数量关系，并加以证明；

（3）请在图4中证明 $ΔAEN (3$ ，4， $5)$ 型三角形；

探索发现

（4）在不添加字母的情况下，图4中还有哪些三角形是 $(3$ ，4， $5)$ 型三角形？请找出并直接写出它们的名称．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：矩形的性质几何变换综合题全等三角形的判定与性质正方形的判定与性质

（1）计算： $\sqrt{12} + 3 \tan 30 ° - | 2 - \sqrt{3} | + {(π - 1)}^{0} + 8^{2021} \times {(- 0.125)}^{2021}$ ；

（2）化简求值： $\frac{2 n}{m + 2 n} + \frac{m}{2 n - m} + \frac{4 mn}{4 n^{2} - m^{2}}$ ，其中 $\frac{m}{n} = \frac{1}{5}$ ．

如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = x + 2$ 与坐标轴交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $A$ 在 $x$ 轴上，点 $B$ 在 $y$ 轴上， $C$ 点的坐标为 $(1, 0)$ ，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 经过点 $A$ ， $B$ ， $C$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）根据图象写出不等式 $a x^{2} + (b - 1) x + c > 2$ 的解集；

（3）点 $P$ 是抛物线上的一动点，过点 $P$ 作直线 $AB$ 的垂线段，垂足为 $Q$ 点．当 $PQ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，求 $P$ 点的坐标．

在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，若身旁没有量角器或三角尺，又需要作 $60 °$ ， $30 °$ ， $15 °$ 等大小的角，可以采用如下方法：

操作感知：

第一步：对折矩形纸片 $ABCD$ ，使 $AD$ 与 $BC$ 重合，得到折痕 $EF$ ，把纸片展开（如图1 $)$ ．

第二步：再一次折叠纸片，使点 $A$ 落在 $EF$ 上，并使折痕经过点 $B$ ，得到折痕 $BM$ ，同时得到线段 $BN$ （如图 $2)$ ．

猜想论证：

（1）若延长 $MN$ 交 $BC$ 于点 $P$ ，如图3所示，试判定 $ΔBMP$ 的形状，并证明你的结论．

拓展探究：

（2）在图3中，若 $AB = a$ ， $BC = b$ ，当 $a$ ， $b$ 满足什么关系时，才能在矩形纸片 $ABCD$ 中剪出符合（1）中结论的三角形纸片 $BMP$ ？

为了倡导“节约用水，从我做起”，某市政府决定对该市直属机关200户家庭用水情况进行调查．市政府调查小组随机抽查了其中部分家庭一年的月平均用水量（单位：吨），调查中发现，每户家庭月平均用水量在 $3 ~ 7$ 吨范围内，并将调查结果制成了如下尚不完整的统计表：

月平均用水量（吨 $)$	3	4	5	6	7
频数（户数）	4	$a$	9	10	7
频率	0.08	0.40	$b$	$c$	0.14

请根据统计表中提供的信息解答下列问题：

（1）填空： $a =$ 　　， $b =$ 　　， $c =$ 　　．

（2）这些家庭中月平均用水量数据的平均数是　　，众数是　　，中位数是　　．

（3）根据样本数据，估计该市直属机关200户家庭中月平均用水量不超过5吨的约有多少户？

（4）市政府决定从月平均用水量最省的甲、乙、丙、丁四户家庭中，选取两户进行“节水”经验分享．请用列表或画树状图的方法，求出恰好选到甲、丙两户的概率，并列出所有等可能的结果．

如图1是某中学教学楼的推拉门，已知门的宽度 $AD = 2$ 米，且两扇门的大小相同（即 $AB = CD)$ ，将左边的门 $AB B_{1} A_{1}$ 绕门轴 $A A_{1}$ 向里面旋转 $35 °$ ，将右边的门 $CD D_{1} C_{1}$ 绕门轴 $D D_{1}$ 向外面旋转 $45 °$ ，其示意图如图2，求此时 $B$ 与 $C$ 之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据： $\sin 35 ° \approx 0.6$ ， $\cos 35 ° \approx 0.8$ ， $\sqrt{2} \approx 1.4)$