综合与实践

背景阅读 早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”．它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中，为了方便，在本题中，我们把三边的比为$3:4:5$的三角形称为$(3$，4，$5)$型三角形，例如：三边长分别为9，12，15或$3\sqrt{2}$，$4\sqrt{2}$，$5\sqrt{2}$的三角形就是$(3$，4，$5)$型三角形，用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形．

实践操作 如图1，在矩形纸片$\mathit{ABCD}$中，$\mathit{AD}=8\mathit{cm}$，$\mathit{AB}=12\mathit{cm}$．

第一步：如图2，将图1中的矩形纸片$\mathit{ABCD}$沿过点$A$的直线折叠，使点$D$落在$\mathit{AB}$上的点$E$处，折痕为$\mathit{AF}$，再沿$\mathit{EF}$折叠，然后把纸片展平．

第二步：如图3，将图2中的矩形纸片再次折叠，使点$D$与点$F$重合，折痕为$\mathit{GH}$，然后展平，隐去$\mathit{AF}$．

第三步：如图4，将图3中的矩形纸片沿$\mathit{AH}$折叠，得到△$\mathit{AD}\text{'}H$，再沿$\mathit{AD}\text{'}$折叠，折痕为$\mathit{AM}$，$\mathit{AM}$与折痕$\mathit{EF}$交于点$N$，然后展平．

问题解决

（1）请在图2中证明四边形$\mathit{AEFD}$是正方形．

（2）请在图4中判断$\mathit{NF}$与$\mathit{ND}\text{'}$的数量关系，并加以证明；

（3）请在图4中证明$\mathit{\Delta AEN}(3$，4，$5)$型三角形；

探索发现

（4）在不添加字母的情况下，图4中还有哪些三角形是$(3$，4，$5)$型三角形？请找出并直接写出它们的名称．

科目 数学   题型 解答题   难度 中等

知识点： 矩形的性质 几何变换综合题 全等三角形的判定与性质 正方形的判定与性质