在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O(0,0)，点-优题课

在平面直角坐标系中，四边形 $AOBC$ 是矩形，点 $O (0, 0)$ ，点 $A (5, 0)$ ，点 $B (0, 3)$ ．以点 $A$ 为中心，顺时针旋转矩形 $AOBC$ ，得到矩形 $ADEF$ ，点 $O$ ， $B$ ， $C$ 的对应点分别为 $D$ ， $E$ ， $F$ ．

（Ⅰ）如图①，当点 $D$ 落在 $BC$ 边上时，求点 $D$ 的坐标；

（Ⅱ）如图②，当点 $D$ 落在线段 $BE$ 上时， $AD$ 与 $BC$ 交于点 $H$ ．

①求证 $ΔADB ≅ ΔAOB$ ；

②求点 $H$ 的坐标．

（Ⅲ）记 $K$ 为矩形 $AOBC$ 对角线的交点， $S$ 为 $ΔKDE$ 的面积，求 $S$ 的取值范围（直接写出结果即可）．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：坐标与图形变化-旋转矩形的性质全等三角形的判定与性质四边形综合题勾股定理

如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．

（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；

（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．

已知一次函数y＝k₁x+b与反比例函数 $y = \frac{k_{2}}{x}$ 的图象交于第一象限内的P（ $\frac{1}{2}$ ，8），Q（4，m）两点，与x轴交于A点．

（1）分别求出这两个函数的表达式；

（2）写出点P关于原点的对称点P'的坐标；

（3）求∠P'AO的正弦值．

中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．为传承中华优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛．为了解本次大赛的成绩，校团委随机抽取了其中200名学生的成绩作为样本进行统计，制成如下不完整的统计图表：

频数频率分布表

成绩x（分）	频数（人）	频率
50≤x＜60	10	0.05
60≤x＜70	30	0.15
70≤x＜80	40	n
80≤x＜90	m	0.35
90≤x≤100	50	0.25

根据所给信息，解答下列问题：

（1）m＝　　，n＝　　；

（2）补全频数分布直方图；

（3）这200名学生成绩的中位数会落在　　分数段；

（4）若成绩在90分以上（包括90分）为“优”等，请你估计该校参加本次比赛的3000名学生中成绩是“优”等的约有多少人？

在一次数学兴趣小组活动中，李燕和刘凯两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏（每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标上数字）．游戏规则如下：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数和小于12，则李燕获胜；若指针所指区域内两数和等于12，则为平局；若指针所指区域内两数和大于12，则刘凯获胜（若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一份内为止）．

（1）请用列表或画树状图的方法表示出上述游戏中两数和的所有可能的结果；

（2）分别求出李燕和刘凯获胜的概率．

美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一．数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A，B两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量．如图，测得∠DAC＝45°，∠DBC＝65°．若AB＝132米，求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）