如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，∠BCH∠A，∠H-优题课

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题文

如图， $AB$ 为 $⊙ O$ 的直径， $C$ 为 $⊙ O$ 上的一点， $∠ BCH = ∠ A$ ， $∠ H = 90 °$ ， $HB$ 的延长线交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，连接 $CD$ ．

（1）求证： $CH$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $B$ 为 $DH$ 的中点，求 $\tan D$ 的值．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：锐角三角函数的定义圆周角定理相似三角形的判定与性质切线的判定

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小明同学训练某种运算技能，每次训练完成相同数量的题目，各次训练题目难度相当．当训练次数不超过15次时，完成一次训练所需要的时间 $y$ （单位：秒）与训练次数 $x$ （单位：次）之间满足如图所示的反比例函数关系．完成第3次训练所需时间为400秒．

（1）求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

（2）当 $x$ 的值为6，8，10时，对应的函数值分别为 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ ，比较 $(y_{1} - y_{2})$ 与 $(y_{2} - y_{3})$ 的大小： $y_{1} - y_{2}$ 　 $>$ 　 $y_{2} - y_{3}$ ．

人字折叠梯完全打开后如图1所示， $B$ ， $C$ 是折叠梯的两个着地点， $D$ 是折叠梯最高级踏板的固定点．图2是它的示意图， $AB = AC$ ， $BD = 140 cm$ ， $∠ BAC = 40 °$ ，求点 $D$ 离地面的高度 $DE$ ．（结果精确到 $0.1 cm$ ；参考数据 $\sin 70 ° \approx 0.94$ ， $\cos 70 ° \approx 0.34$ ， $\sin 20 ° \approx 0.34$ ， $\cos 20 ° \approx 0.94)$

解方程组： $\{\begin{matrix} x - y = 1, \\ 3 x + y = 7 . \end{matrix}$

计算： $| - 3 | + \sqrt{8} - \sqrt{2}$ ．

如图1，矩形 $DEFG$ 中， $DG = 2$ ， $DE = 3$ ， $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $CA = CB = 2$ ， $FG$ ， $BC$ 的延长线相交于点 $O$ ，且 $FG ⊥ BC$ ， $OG = 2$ ， $OC = 4$ ．将 $ΔABC$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $α (0 ° ⩽ α < 180 °)$ 得到△ $A' B' C'$ ．

（1）当 $α = 30 °$ 时，求点 $C'$ 到直线 $OF$ 的距离．

（2）在图1中，取 $A' B'$ 的中点 $P$ ，连结 $C' P$ ，如图2．

①当 $C' P$ 与矩形 $DEFG$ 的一条边平行时，求点 $C'$ 到直线 $DE$ 的距离．

②当线段 $A' P$ 与矩形 $DEFG$ 的边有且只有一个交点时，求该交点到直线 $DG$ 的距离的取值范围．

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