如图，海中有两个小岛C，D，某渔船在海中的A处测得小岛D位于-优题课

如图，海中有两个小岛 $C$ ， $D$ ，某渔船在海中的 $A$ 处测得小岛 $D$ 位于东北方向上，且相距 $20 \sqrt{2} nmile$ ，该渔船自西向东航行一段时间到达点 $B$ 处，此时测得小岛 $C$ 恰好在点 $B$ 的正北方向上，且相距 $50 nmile$ ，又测得点 $B$ 与小岛 $D$ 相距 $20 \sqrt{5} nmile$ ．

（1）求 $\sin ∠ ABD$ 的值；

（2）求小岛 $C$ ， $D$ 之间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：解直角三角形的应用-方向角问题

如图，在菱形 $ABCD$ 中， $AC$ 为对角线，点 $E$ ， $F$ 分别在 $AB$ ， $AD$ 上， $BE = DF$ ，连接 $EF$ ．

（1）求证： $AC ⊥ EF$ ；

（2）延长 $EF$ 交 $CD$ 的延长线于点 $G$ ，连接 $BD$ 交 $AC$ 于点 $O$ ．若 $BD = 4$ ， $\tan G = \frac{1}{2}$ ，求 $AO$ 的长．

关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 x + 2 m - 1 = 0$ 有实数根，且 $m$ 为正整数，求 $m$ 的值及此时方程的根．

对于平面直角坐标系 $xOy$ 中的图形 $M$ ， $N$ ，给出如下定义： $P$ 为图形 $M$ 上任意一点， $Q$ 为图形 $N$ 上任意一点，如果 $P$ ， $Q$ 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形 $M$ ， $N$ 间的“闭距离“，记作 $d (M, N)$ ．

已知点 $A (- 2, 6)$ ， $B (- 2, - 2)$ ， $C (6, - 2)$ ．

（1）求 $d$ （点 $O$ ， $ΔABC)$ ；

（2）记函数 $y = kx (- 1 ⩽ x ⩽ 1, k \neq 0)$ 的图象为图形 $G$ ．若 $d (G, ΔABC) = 1$ ，直接写出 $k$ 的取值范围；

（3） $⊙ T$ 的圆心为 $T (t, 0)$ ，半径为1．若 $d (⊙ T, ΔABC) = 1$ ，直接写出 $t$ 的取值范围．

如图，在正方形 $ABCD$ 中， $E$ 是边 $AB$ 上的一动点（不与点 $A$ 、 $B$ 重合），连接 $DE$ ，点 $A$ 关于直线 $DE$ 的对称点为 $F$ ，连接 $EF$ 并延长交 $BC$ 于点 $G$ ，连接 $DG$ ，过点 $E$ 作 $EH ⊥ DE$ 交 $DG$ 的延长线于点 $H$ ，连接 $BH$ ．

（1）求证： $GF = GC$ ；

（2）用等式表示线段 $BH$ 与 $AE$ 的数量关系，并证明．

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，直线 $y = 4 x + 4$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于点 $A$ ， $B$ ，抛物线 $y = a x^{2} + bx - 3 a$ 经过点 $A$ ，将点 $B$ 向右平移5个单位长度，得到点 $C$ ．

（1）求点 $C$ 的坐标；

（2）求抛物线的对称轴；

（3）若抛物线与线段 $BC$ 恰有一个公共点，结合函数图象，求 $a$ 的取值范围．

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