如图1，抛物线C:yax2bx经过点A(4,0)、B(1,3-优题课

如图1，抛物线 $C : y = a x^{2} + bx$ 经过点 $A (- 4, 0)$ 、 $B (- 1, 3)$ 两点， $G$ 是其顶点，将抛物线 $C$ 绕点 $O$ 旋转 $180 °$ ，得到新的抛物线 $C'$ ．

（1）求抛物线 $C$ 的函数解析式及顶点 $G$ 的坐标；

（2）如图2，直线 $l : y = kx - \frac{12}{5}$ 经过点 $A$ ， $D$ 是抛物线 $C$ 上的一点，设 $D$ 点的横坐标为 $m (m < - 2)$ ，连接 $DO$ 并延长，交抛物线 $C'$ 于点 $E$ ，交直线 $l$ 于点 $M$ ，若 $DE = 2 EM$ ，求 $m$ 的值；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接 $AG$ 、 $AB$ ，在直线 $DE$ 下方的抛物线 $C$ 上是否存在点 $P$ ，使得 $∠ DEP = ∠ GAB$ ？若存在，求出点 $P$ 的横坐标；若不存在，请说明理由．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：二次函数的性质二次函数图象与几何变换解直角三角形待定系数法求二次函数解析式相似三角形的判定与性质

为庆祝建党100周年，某大学组织志愿者周末到社区进行党史学习宣讲，决定从 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者参加．抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字．

（1）“ $A$ 志愿者被选中”是　　事件（填“随机”或“不可能”或“必然” $)$ ；

（2）请你用列表法或画树状图法表示出这次抽签所有可能的结果，并求出 $A$ ， $B$ 两名志愿者被选中的概率．

解不等式组： $\{\begin{matrix} 2 x - 3 ⩽ 1 \\ \frac{x + 1}{3} > - 1 \end{matrix}$ 并将解集在数轴上表示出来．

（1）计算： ${(- 1)}^{2} - {(π - 2021)}^{0} + | - \frac{1}{2} |$ ；

（2）如图，在 $ΔABC$ 中， $∠ A = 40 °$ ， $∠ ABC = 80 °$ ， $BE$ 平分 $∠ ABC$ 交 $AC$ 于点 $E$ ， $ED ⊥ AB$ 于点 $D$ ，求证： $AD = BD$ ．

甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：

甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元．

乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．

说明：①汽车数量为整数；②月利润 $=$ 月租车费 $-$ 月维护费；③两公司月利润差 $=$ 月利润较高公司的利润 $-$ 月利润较低公司的利润．

在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：

（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是　 48000 　元；当每个公司租出的汽车为　　辆时，两公司的月利润相等；

（2）求两公司月利润差的最大值；

（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出 $a$ 元 $(a > 0)$ 给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求 $a$ 的取值范围．

在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：

已知线段 $BC = 2$ ，使用作图工具作 $∠ BAC = 30 °$ ，尝试操作后思考：

（1）这样的点 $A$ 唯一吗？

（2）点 $A$ 的位置有什么特征？你有什么感悟？

“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点 $A$ 的位置不唯一，它在以 $BC$ 为弦的圆弧上（点 $B$ 、 $C$ 除外）， $\dots$ ．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图 $1)$ ．

（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．

①该弧所在圆的半径长为　　；

② $ΔABC$ 面积的最大值为　　；

（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为 $A'$ ，请你根据图1证明 $∠ BA' C > 30 °$ ．

（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形 $ABCD$ 的边长 $AB = 2$ ， $BC = 3$ ，点 $P$ 在直线 $CD$ 的左侧，且 $\tan ∠ DPC = \frac{4}{3}$ ．

①线段 $PB$ 长的最小值为　　；

②若 $S_{ΔPCD} = \frac{2}{3} S_{ΔPAD}$ ，则线段 $PD$ 长为　　．