如图，在直角坐标系中有$\text{Rt}\Delta \text{AOB}$，$O$为坐标原点，$\mathit{OB}=1$，$\tan \angle \mathit{ABO}=3$，将此三角形绕原点$O$顺时针旋转$90°$，得到$\text{Rt}\Delta \text{COD}$，二次函数$y=-x^2+\mathit{bx}+c$的图象刚好经过$A$，$B$，$C$三点．

（1）求二次函数的解析式及顶点$P$的坐标；

（2）过定点$Q$的直线$l:y=\mathit{kx}-k+3$与二次函数图象相交于$M$，$N$两点．

①若$S_{\mathit{\Delta PMN}}=2$，求$k$的值；

②证明：无论$k$为何值，$\mathit{\Delta PMN}$恒为直角三角形；

③当直线$l$绕着定点$Q$旋转时，$\mathit{\Delta PMN}$外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．

科目 数学   题型 解答题   难度 较难

知识点： 二次函数的性质 待定系数法求二次函数解析式 三角形的外接圆与外心 二次函数综合题