已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a>0)$

（1）若 $a=1$ ， $b=-2$ ， $c=-1$

①求该二次函数图象的顶点坐标；

②定义：对于二次函数 $y=p{x}^2+\mathit{qx}+r(p\ne 0)$ ，满足方程 $y=x$ 的 $x$ 的值叫做该二次函数的"不动点"．求证：二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 有两个不同的"不动点"．

（2）设 $b=\frac{1}{2}{c}^3$ ，如图所示，在平面直角坐标系 $\mathit{Oxy}$ 中，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 的图象与 $x$ 轴分别相交于不同的两点 $A(x_1$ ， $0)$ ， $B(x_2$ ， $0)$ ，其中 $x_1<0$ ， $x_2>0$ ，与 $y$ 轴相交于点 $C$ ，连结 $\mathit{BC}$ ，点 $D$ 在 $y$ 轴的正半轴上，且 $\mathit{OC}=\mathit{OD}$ ，又点 $E$ 的坐标为 $(1,0)$ ，过点 $D$ 作垂直于 $y$ 轴的直线与直线 $\mathit{CE}$ 相交于点 $F$ ，满足 $\angle \mathit{AFC}=\angle \mathit{ABC}$ ． $\mathit{FA}$ 的延长线与 $\mathit{BC}$ 的延长线相交于点 $P$ ，若 $\frac{\mathit{PC}}{\mathit{PA}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5a^2+1}}$ ，求二次函数的表达式．

科目 数学   题型 解答题   难度 较难

知识点： 二次函数的性质 相似三角形的判定与性质 根的判别式 根与系数的关系 二次函数综合题