如图，已知抛物线y13x2bxc经过点A(1,0)、B(5,-优题课

如图，已知抛物线 $y = \frac{1}{3} x^{2} + bx + c$ 经过点 $A (- 1, 0)$ 、 $B (5, 0)$ ．

（1）求抛物线的解析式，并写出顶点 $M$ 的坐标；

（2）若点 $C$ 在抛物线上，且点 $C$ 的横坐标为8，求四边形 $AMBC$ 的面积；

（3）定点 $D (0, m)$ 在 $y$ 轴上，若将抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线，点 $P$ 在新的抛物线上运动，求定点 $D$ 与动点 $P$ 之间距离的最小值 $d$ （用含 $m$ 的代数式表示）

科目数学题型解答题难度较难

知识点：二次函数图象与几何变换待定系数法求二次函数解析式二次函数综合题

如图，已知 $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $P$ 是 $⊙ O$ 上一点，连接 $OP$ ，点 $A$ 关于 $OP$ 的对称点 $C$ 恰好落在 $⊙ O$ 上．

（1）求证： $OP / / BC$ ；

（2）过点 $C$ 作 $⊙ O$ 的切线 $CD$ ，交 $AP$ 的延长线于点 $D$ ．如果 $∠ D = 90 °$ ， $DP = 1$ ，求 $⊙ O$ 的直径．

如图，已知一次函数 $y = - 2 x + 8$ 的图象与坐标轴交于 $A$ ， $B$ 两点，并与反比例函数 $y = \frac{8}{x}$ 的图象相切于点 $C$ ．

（1）切点 $C$ 的坐标是　　；

（2）若点 $M$ 为线段 $BC$ 的中点，将一次函数 $y = - 2 x + 8$ 的图象向左平移 $m (m > 0)$ 个单位后，点 $C$ 和点 $M$ 平移后的对应点同时落在另一个反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上时，求 $k$ 的值．

如图所示是我国古代城市用以滞洪或分洪系统的局部截面原理图，图中 $OP$ 为下水管道口直径， $OB$ 为可绕转轴 $O$ 自由转动的阀门．平时阀门被管道中排出的水冲开，可排出城市污水；当河水上涨时，阀门会因河水压迫而关闭，以防河水倒灌入城中．若阀门的直径 $OB = OP = 100 cm$ ， $OA$ 为检修时阀门开启的位置，且 $OA = OB$ ．

（1）直接写出阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中 $∠ POB$ 的取值范围；

（2）为了观测水位，当下水道的水冲开阀门到达 $OB$ 位置时，在点 $A$ 处测得俯角 $∠ CAB = 67.5 °$ ，若此时点 $B$ 恰好与下水道的水平面齐平，求此时下水道内水的深度．（结果保留小数点后一位）

$(\sqrt{2} = 1.41$ ， $\sin 67.5 ° = 0.92$ ， $\cos 67.5 ° = 0.38$ ， $\tan 67.5 ° = 2.41$ ， $\sin 22.5 ° = 0.38$ ， $\cos 22.5 ° = 0.92$ ， $\tan 22.5 ° = 0.41)$

某文具店最近有 $A$ ， $B$ 两款毕业纪念册比较畅销，近两周的销售情况是：第一周 $A$ 款销售数量是15本， $B$ 款销售数量是10本，销售总价是230元；第二周 $A$ 款销售数量是20本， $B$ 款销售数量是10本，销售总价是280元．

（1）求 $A$ ， $B$ 两款毕业纪念册的销售单价；

（2）若某班准备用不超过529元购买这两种款式的毕业纪念册共60本，求最多能够买多少本 $A$ 款毕业纪念册．

为落实立德树人的根本任务，加强思改、历史学科教师的专业化队伍建设．某校计划从前来应聘的思政专业（一名研究生，一名本科生）、历史专业（一名研究生、一名本科生）的高校毕业生中选聘教师，在政治思想审核合格的条件下，假设每位毕业生被录用的机会相等

（1）若从中只录用一人，恰好选到思政专业毕业生的概率是　　 $:$

（2）若从中录用两人，请用列表或画树状图的方法，求恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的概率．

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