已知：在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的点，过点-优题课

已知：在矩形 $ABCD$ 中， $E$ ， $F$ 分别是边 $AB$ ， $AD$ 上的点，过点 $F$ 作 $EF$ 的垂线交 $DC$ 于点 $H$ ，以 $EF$ 为直径作半圆 $O$ ．

（1）填空：点 $A$ 　　（填“在”或“不在” $) ⊙ O$ 上；当 $\hat{AE} = \hat{AF}$ 时， $\tan ∠ AEF$ 的值是　　；

（2）如图1，在 $ΔEFH$ 中，当 $FE = FH$ 时，求证： $AD = AE + DH$ ；

（3）如图2，当 $ΔEFH$ 的顶点 $F$ 是边 $AD$ 的中点时，求证： $EH = AE + DH$ ；

（4）如图3，点 $M$ 在线段 $FH$ 的延长线上，若 $FM = FE$ ，连接 $EM$ 交 $DC$ 于点 $N$ ，连接 $FN$ ，当 $AE = AD$ 时， $FN = 4$ ， $HN = 3$ ，求 $\tan ∠ AEF$ 的值．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：锐角三角函数的定义相似三角形的判定与性质矩形的性质全等三角形的判定与性质圆的综合题

若三个非零实数 $x$ ， $y$ ， $z$ 满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数 $x$ ， $y$ ， $z$ 构成“和谐三组数”．

（1）实数1，2，3可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由；

（2）若 $M (t, y_{1})$ ， $N (t + 1, y_{2})$ ， $R (t + 3, y_{3})$ 三点均在函数 $y = \frac{k}{x} (k$ 为常数， $k \neq 0)$ 的图象上，且这三点的纵坐标 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 构成“和谐三组数”，求实数 $t$ 的值；

（3）若直线 $y = 2 bx + 2 c (bc \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A (x_{1}$ ， $0)$ ，与抛物线 $y = a x^{2} + 3 bx + 3 c (a \neq 0)$ 交于 $B (x_{2}$ ， $y_{2})$ ， $C (x_{3}$ ， $y_{3})$ 两点．

①求证： $A$ ， $B$ ， $C$ 三点的横坐标 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 构成“和谐三组数”；

②若 $a > 2 b > 3 c$ ， $x_{2} = 1$ ，求点 $P (\frac{c}{a}$ ， $\frac{b}{a})$ 与原点 $O$ 的距离 $OP$ 的取值范围．

自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后，我省与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品，经调查，用16000元采购 $A$ 型商品的件数是用7500元采购 $B$ 型商品的件数的2倍，一件 $A$ 型商品的进价比一件 $B$ 型商品的进价多10元．

（1）求一件 $A$ ， $B$ 型商品的进价分别为多少元？

（2）若该欧洲客商购进 $A$ ， $B$ 型商品共250件进行试销，其中 $A$ 型商品的件数不大于 $B$ 型的件数，且不小于80件．已知 $A$ 型商品的售价为240元 $/$ 件， $B$ 型商品的售价为220元 $/$ 件，且全部售出．设购进 $A$ 型商品 $m$ 件，求该客商销售这批商品的利润 $v$ 与 $m$ 之间的函数关系式，并写出 $m$ 的取值范围；

（3）在（2）的条件下，欧洲客商决定在试销活动中每售出一件 $A$ 型商品，就从一件 $A$ 型商品的利润中捐献慈善资金 $a$ 元，求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益．

如图， $AB$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $C$ ， $OA$ ， $OB$ 分别交 $⊙ O$ 于点 $D$ ， $E$ ， $\hat{CD} = \hat{CE}$

（1）求证： $OA = OB$ ；

（2）已知 $AB = 4 \sqrt{3}$ ， $OA = 4$ ，求阴影部分的面积．

为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在 $A$ 处测得灯塔 $P$ 在北偏东 $60 °$ 方向上，继续航行1小时到达 $B$ 处，此时测得灯塔 $P$ 在北偏东 $30 °$ 方向上．

（1）求 $∠ APB$ 的度数；

（2）已知在灯塔 $P$ 的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？

为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表．

组别	分数段	频次	频率
$A$	$60 ⩽ x < 70$	17	0.17
$B$	$70 ⩽ x < 80$	30	$a$
$C$	$80 ⩽ x < 90$	$b$	0.45
$D$	$90 ⩽ x < 100$	8	0.08

请根据所给信息，解答以下问题：

（1）表中 $a =$ 　　， $b =$ 　　；

（2）请计算扇形统计图中 $B$ 组对应扇形的圆心角的度数；

（3）已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率．