如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx2交x轴于A，B-优题课

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + bx - 2$ 交 $x$ 轴于 $A$ ， $B$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C$ ，且 $OA = 2 OC = 8 OB$ ．点 $P$ 是第三象限内抛物线上的一动点．

（1）求此抛物线的表达式；

（2）若 $PC / / AB$ ，求点 $P$ 的坐标；

（3）连接 $AC$ ，求 $ΔPAC$ 面积的最大值及此时点 $P$ 的坐标．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：一次函数的性质待定系数法求二次函数解析式二次函数综合题

已知二次函数 $y = a x^{2} + bx + c$ 的图象的一部分如图所示，试确定 $a$ 的取值范围.

已知二次函数 $y = x^{2} - x - 2$ 及实数 $a > - 2$ .求:

（1）函数在 $- 2 < x ⩽ a$ 的最小值；

（2）函数在 $a ⩽ x ⩽ a + 2$ 的最小值.

已知抛物线 $y = - 2 x^{2} + bx + c$ 经过点 $(0, - 2)$ ，当 $x < - 4$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大，当 $x > - 4$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小.设 $r$ 是抛物线 $y = - 2 x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴的交点（交点也称公共点）的横坐标， $m = \frac{r^{9} + r^{7} - 2 r^{5} + r^{3} + r - 1}{r^{9} + 60 r^{5} - 1}$ .

（1）求 $b, c$ 的值；

（2）求证: $r^{4} - 2 r^{2} + 1 = 60 r^{2}$ ；

（3）以下结论: $m < 1, m = 1, m > 1$ ，你认为哪个正确?请证明你认为正确的那个结论.

在平面直角坐标系 $xoy$ 中，抛物线 $y = m x^{2} - 2 mx - 3 (m \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A (3, 0), B$ 两点.

（1）求抛物线的解析式及点 $B$ 的坐标；

（2）当 $- 2 < x < 3$ 时的函数图象记为 $G$ ，求此时函数 $y$ 的取值范围；

（3）在（2）的条件下，将图象 $G$ 在 $x$ 轴上方的部分沿 $x$ 轴翻折，图象 $G$ 的其余部分保持不变，得到一个新图象 $M$ .若经过 $C (4, 2)$ 点的直线 $y = kx + b (k \neq 0)$ 与图象 $M$ 在第三象限内有两个公共点，结合图象，求 $b$ 的取值范围.

已知 $Δ A B C$ 的两边 $AB, AC$ 的长是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (2 k + 3) x + k^{2} + 3 k + 2 = 0$ 的两个实数根，第三边 $BC = 5$ .

（1） $k$ 为何值时， $Δ A B C$ 是以 $BC$ 为斜边的直角三角形?

（2） $k$ 为何值时， $Δ A B C$ 是等腰三角形?并求此时 $Δ A B C$ 的周长.

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