如图，在平面直角坐标系中，四边形$\mathit{OABC}$的边$\mathit{OC}$在$x$轴上，$\mathit{OA}$在$y$轴上．$O$为坐标原点，$\mathit{AB}//\mathit{OC}$，线段$\mathit{OA}$，$\mathit{AB}$的长分别是方程$x^2-9x+20=0$的两个根$(\mathit{OA}<\mathit{AB})$，$\tan \angle \mathit{OCB}=\frac{4}{3}$．

（1）求点$B$，$C$的坐标；

（2）$P$为$\mathit{OA}$上一点，$Q$为$\mathit{OC}$上一点，$\mathit{OQ}=5$，将$\mathit{\Delta POQ}$翻折，使点$O$落在$\mathit{AB}$上的点$O\text{'}$处，双曲线$y=\frac{k}{x}$的一个分支过点$O\text{'}$．求$k$的值；

（3）在（2）的条件下，$M$为坐标轴上一点，在平面内是否存在点$N$，使以$O\text{'}$，$Q$，$M$，$N$为顶点四边形为矩形？若存在，请直接写出点$N$的坐标；若不存在，请说明理由．

科目 数学   题型 解答题   难度 较难

知识点： 待定系数法求反比例函数解析式 一次函数图象上点的坐标特征 相似三角形的判定与性质 待定系数法求一次函数解析式 全等三角形的判定与性质 四边形综合题