如图，在RtΔABC中，∠ACB90°，以斜边AB上的中线C-优题课

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ，以斜边 $AB$ 上的中线 $CD$ 为直径作 $⊙ O$ ，与 $BC$ 交于点 $M$ ，与 $AB$ 的另一个交点为 $E$ ，过 $M$ 作 $MN ⊥ AB$ ，垂足为 $N$ ．

（1）求证： $MN$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $⊙ O$ 的直径为5， $\sin B = \frac{3}{5}$ ，求 $ED$ 的长．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆周角定理解直角三角形切线的判定等腰三角形的判定与性质

观察以下等式：

第1个等式： $\frac{1}{3} \times (1 + \frac{2}{1}) = 2 - \frac{1}{1}$ ，

第2个等式： $\frac{3}{4} \times (1 + \frac{2}{2}) = 2 - \frac{1}{2}$ ，

第3个等式： $\frac{5}{5} \times (1 + \frac{2}{3}) = 2 - \frac{1}{3}$ ，

第4个等式： $\frac{7}{6} \times (1 + \frac{2}{4}) = 2 - \frac{1}{4}$ ．

第5个等式： $\frac{9}{7} \times (1 + \frac{2}{5}) = 2 - \frac{1}{5}$ ．

$\dots$

按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第6个等式：　 $\frac{11}{8} \times (1 + \frac{2}{6}) = 2 - \frac{1}{6}$ 　；

（2）写出你猜想的第 $n$ 个等式：　　（用含 $n$ 的等式表示），并证明．

如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段 $AB$ ，线段 $MN$ 在网格线上．

（1）画出线段 $AB$ 关于线段 $MN$ 所在直线对称的线段 $A_{1} B_{1}$ （点 $A_{1}$ ， $B_{1}$ 分别为 $A$ ， $B$ 的对应点）；

（2）将线段 $B_{1} A_{1}$ 绕点 $B_{1}$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到线段 $B_{1} A_{2}$ ，画出线段 $B_{1} A_{2}$ ．

解不等式： $\frac{2 x - 1}{2} > 1$ ．

已知直线 $l_{1} : y = - 2 x + 10$ 交 $y$ 轴于点 $A$ ，交 $x$ 轴于点 $B$ ，二次函数的图象过 $A$ ， $B$ 两点，交 $x$ 轴于另一点 $C$ ， $BC = 4$ ，且对于该二次函数图象上的任意两点 $P_{1} (x_{1}$ ， $y_{1})$ ， $P_{2} (x_{2}$ ， $y_{2})$ ，当 $x_{1} > x_{2} ⩾ 5$ 时，总有 $y_{1} > y_{2}$ ．

（1）求二次函数的表达式；

（2）若直线 $l_{2} : y = mx + n (n \neq 10)$ ，求证：当 $m = - 2$ 时， $l_{2} / / l_{1}$ ；

（3） $E$ 为线段 $BC$ 上不与端点重合的点，直线 $l_{3} : y = - 2 x + q$ 过点 $C$ 且交直线 $AE$ 于点 $F$ ，求 $ΔABE$ 与 $ΔCEF$ 面积之和的最小值．

如图， $ΔADE$ 由 $ΔABC$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转 $90 °$ 得到，且点 $B$ 的对应点 $D$ 恰好落在 $BC$ 的延长线上， $AD$ ， $EC$ 相交于点 $P$ ．

（1）求 $∠ BDE$ 的度数；

（2） $F$ 是 $EC$ 延长线上的点，且 $∠ CDF = ∠ DAC$ ．

①判断 $DF$ 和 $PF$ 的数量关系，并证明；

②求证： $\frac{EP}{PF} = \frac{PC}{CF}$ ．