红光中学学生乘汽车从学校去研学旅行基地，以75千米/小时的平-优题课

红光中学学生乘汽车从学校去研学旅行基地，以75千米 $/$ 小时的平均速度，用时2小时到达．由于天气原因，原路返回时汽车平均速度控制在不低于50千米 $/$ 小时且不高于60千米 $/$ 小时的范围内，这样需要用 $t$ 小时到达．求 $t$ 的取值范围．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：一元一次不等式组的应用

（1）如图1，在正方形 $ABCD$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在 $BC$ ， $CD$ 上， $AE ⊥ BF$ 于点 $M$ ，求证： $AE = BF$ ；

（2）如图2，将（1）中的正方形 $ABCD$ 改为矩形 $ABCD$ ， $AB = 2$ ， $BC = 3$ ， $AE ⊥ BF$ 于点 $M$ ，探究 $AE$ 与 $BF$ 的数量关系，并证明你的结论．

直线 $l$ 的解析式为 $y = - 2 x + 2$ ，分别交 $x$ 轴、 $y$ 轴于点 $A$ ， $B$ ．

（1）写出 $A$ ， $B$ 两点的坐标，并画出直线 $l$ 的图象；

（2）将直线 $l$ 向上平移4个单位得到 $l_{1}$ ， $l_{1}$ 交 $x$ 轴于点 $C$ ．作出 $l_{1}$ 的图象， $l_{1}$ 的解析式是　　．

（3）将直线 $l$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到 $l_{2}$ ， $l_{2}$ 交 $l_{1}$ 于点 $D$ ．作出 $l_{2}$ 的图象， $\tan ∠ CAD =$ 　　．

已知抛物线 $y_{1} = a x^{2} + bx - 4 (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 1, 0)$ 和点 $B (4, 0)$ ．

（1）求抛物线 $y_{1}$ 的函数解析式；

（2）如图①，将抛物线 $y_{1}$ 沿 $x$ 轴翻折得到抛物线 $y_{2}$ ，抛物线 $y_{2}$ 与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $D$ 是线段 $BC$ 上的一个动点，过点 $D$ 作 $DE / / y$ 轴交抛物线 $y_{1}$ 于点 $E$ ，求线段 $DE$ 的长度的最大值；

（3）在（2）的条件下，当线段 $DE$ 处于长度最大值位置时，作线段 $BC$ 的垂直平分线交 $DE$ 于点 $F$ ，垂足为 $H$ ，点 $P$ 是抛物线 $y_{2}$ 上一动点， $⊙ P$ 与直线 $BC$ 相切，且 $S_{⊙ P} : S_{ΔDFH} = 2 π$ ，求满足条件的所有点 $P$ 的坐标．

已知：如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = BC = 10$ ，以 $AB$ 为直径作 $⊙ O$ 分别交 $AC$ ， $BC$ 于点 $D$ ， $E$ ，连接 $DE$ 和 $DB$ ，过点 $E$ 作 $EF ⊥ AB$ ，垂足为 $F$ ，交 $BD$ 于点 $P$ ．

（1）求证： $AD = DE$ ；

（2）若 $CE = 2$ ，求线段 $CD$ 的长；

（3）在（2）的条件下，求 $ΔDPE$ 的面积．

为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，已知2015年该市投入基础教育经费5000万元，2017年投入基础教育经费7200万元．

（1）求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率；

（2）如果按（1）中基础教育经费投入的年平均增长率计算，该市计划2018年用不超过当年基础教育经费的 $5 %$ 购买电脑和实物投影仪共1500台，调配给农村学校，若购买一台电脑需3500元，购买一台实物投影需2000元，则最多可购买电脑多少台？

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