邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下的一个四边形，-优题课

邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下的一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第 n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为 n阶准菱形，如图1，▱ ABCD中，若 AB＝1， BC＝2，则▱ ABCD为1阶准菱形．

（1）猜想与计算：

邻边长分别为3和5的平行四边形是　　阶准菱形；已知▱ ABCD的邻边长分别为 a， b（ a＞ b），满足 a＝8 b+ r， b＝5 r，请写出▱ ABCD是　　阶准菱形．

（2）操作与推理：

小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图2，把▱ ABCD沿 BE折叠（点 E在 AD上），使点 A落在 BC边上的点 F处，得到四边形 ABFE．请证明四边形 ABFE是菱形．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：平行四边形的性质菱形的判定与性质四边形综合题

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，过点 $A (- 6, 0)$ 的直线 $l_{1}$ 与直线 $l_{2} : y = 2 x$ 相交于点 $B (m, 4)$ ．

（1）求直线 $l_{1}$ 的表达式；

（2）过动点 $P (n, 0)$ 且垂直于 $x$ 轴的直线与 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的交点分别为 $C$ ， $D$ ，当点 $C$ 位于点 $D$ 上方时，写出 $n$ 的取值范围．

关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + (2 m + 1) x + m^{2} - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根．

（1）求 $m$ 的取值范围；

（2）写出一个满足条件的 $m$ 的值，并求此时方程的根．

如图，四边形 $ABCD$ 是平行四边形， $AE$ 平分 $∠ BAD$ ，交 $DC$ 的延长线于点 $E$ ．求证： $DA = DE$ ．

设抛物线的解析式为 $y = a x^{2}$ ，过点 $B_{1} (1, 0)$ 作 $x$ 轴的垂线，交抛物线于点 $A_{1} (1, 2)$ ；过点 $B_{2} (\frac{1}{2}$ ， $0)$ 作 $x$ 轴的垂线，交抛物线于点 $A_{2}$ ； $\dots$ ；过点 $B_{n} ({(\frac{1}{2})}^{n - 1}$ ， $0) (n$ 为正整数）作 $x$ 轴的垂线，交抛物线于点 $A_{n}$ ，连接 $A_{n} B_{n + 1}$ ，得 $Rt$ △ $A_{n} B_{n} B_{n + 1}$ ．

（1）求 $a$ 的值；

（2）直接写出线段 $A_{n} B_{n}$ ， $B_{n} B_{n + 1}$ 的长（用含 $n$ 的式子表示）；

（3）在系列 $Rt$ △ $A_{n} B_{n} B_{n + 1}$ 中，探究下列问题：

①当 $n$ 为何值时， $Rt$ △ $A_{n} B_{n} B_{n + 1}$ 是等腰直角三角形？

②设 $1 ⩽ k < m ⩽ n (k$ ， $m$ 均为正整数），问：是否存在 $Rt$ △ $A_{k} B_{k} B_{k + 1}$ 与 $Rt$ △ $A_{m} B_{m} B_{m + 1}$ 相似？若存在，求出其相似比；若不存在，说明理由．

如图，将正 $n$ 边形绕点 $A$ 顺时针旋转 $60 °$ 后，发现旋转前后两图形有另一交点 $O$ ，连接 $AO$ ，我们称 $AO$ 为"叠弦"；再将"叠弦" $AO$ 所在的直线绕点 $A$ 逆时针旋转 $60 °$ 后，交旋转前的图形于点 $P$ ，连接 $PO$ ，我们称 $∠ OAB$ 为"叠弦角"， $ΔAOP$ 为"叠弦三角形"．

[探究证明]

（1）请在图1和图2中选择其中一个证明："叠弦三角形" $(ΔAOP)$ 是等边三角形；

（2）如图2，求证： $∠ OAB = ∠ OAE'$ ．

[归纳猜想]

（3）图1、图2中的"叠弦角"的度数分别为　，　　；

（4）图 $n$ 中，"叠弦三角形" 　　等边三角形（填"是"或"不是" $)$

（5）图 $n$ 中，"叠弦角"的度数为　　（用含 $n$ 的式子表示）