某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元-优题课

某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．

（1）求该种商品每次降价的百分率；

（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3120元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？

科目数学题型解答题难度中等

知识点：一元一次不等式的应用一元二次方程的应用

如图所示，正方形网格中， $ΔABC$ 为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上） $:$

①把 $ΔABC$ 沿 $BA$ 方向平移，请在网格中画出当点 $A$ 移动到点 $A_{1}$ 时的△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

②把△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ 绕点 $A_{1}$ 按逆时针方向旋转 $90 °$ 后得到△ $A_{2} B_{2} C_{2}$ ，如果网格中小正方形的边长为1，求点 $B_{1}$ 旋转到 $B_{2}$ 的路径长．

如图，直线 $y = - x + 3$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别相交于点 $B$ 、 $C$ ，经过 $B$ 、 $C$ 两点的抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴的另一个交点为 $A$ ，顶点为 $P$ ，且对称轴为直线 $x = 2$ ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）连接 $PB$ 、 $PC$ ，求 $ΔPBC$ 的面积；

（3）连接 $AC$ ，在 $x$ 轴上是否存在一点 $Q$ ，使得以点 $P$ ， $B$ ， $Q$ 为顶点的三角形与 $ΔABC$ 相似？若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

凯里市某文具店某种型号的计算器每只进价12元，售价20元，多买优惠，优惠方法是：凡是一次买10只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降价0.1元，例如：某人买18只计算器，于是每只降价 $0.1 \times (18 - 10) = 0.8$ （元 $)$ ，因此所买的18只计算器都按每只19.2元的价格购买，但是每只计算器的最低售价为16元．

（1）求一次至少购买多少只计算器，才能以最低价购买？

（2）求写出该文具店一次销售 $x (x > 10)$ 只时，所获利润 $y$ （元 $)$ 与 $x$ （只 $)$ 之间的函数关系式，并写出自变量 $x$ 的取值范围；

（3）一天，甲顾客购买了46只，乙顾客购买了50只，店主发现卖46只赚的钱反而比卖50只赚的钱多，请你说明发生这一现象的原因；当 $10 < x ⩽ 50$ 时，为了获得最大利润，店家一次应卖多少只？这时的售价是多少？

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $P$ 在 $BA$ 的延长线上，弦 $CD ⊥ AB$ ，垂足为 $E$ ，且 $P C^{2} = PE \cdot PO$ ．

（1）求证： $PC$ 是 $⊙ O$ 的切线．

（2）若 $OE : EA = 1 : 2$ ， $PA = 6$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

黔东南州某校吴老师组织九（1）班同学开展数学活动，带领同学们测量学校附近一电线杆的高．已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子（折线 $BCD)$ 恰好落在水平地面和斜坡上，在 $D$ 处测得电线杆顶端 $A$ 的仰角为 $30 °$ ，在 $C$ 处测得电线杆顶端 $A$ 得仰角为 $45 °$ ，斜坡与地面成 $60 °$ 角， $CD = 4 m$ ，请你根据这些数据求电线杆的高 $(AB)$ ．

（结果精确到 $1 m$ ，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.4$ ， $\sqrt{3} \approx 1.7)$

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