已知不等式组3x4<x①43x≤x23②（1）求不等式组的解-优题课

已知不等式组 $\{\begin{matrix} 3 x + 4 > x① \\ \frac{4}{3} x \leq x + \frac{2}{3} ② \end{matrix}$

（1）求不等式组的解集，并写出它的所有整数解；

（2）在不等式组的所有整数解中任取两个不同的整数相乘，请用画树状图或列表的方法求积为正数的概率．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：列表法与树状图法解一元一次不等式组一元一次不等式组的整数解

如图，一艘船由 $A$ 港沿北偏东 $65 °$ 方向航行 $38 km$ 到 $B$ 港，然后再沿北偏西 $42 °$ 方向航行至 $C$ 港，已知 $C$ 港在 $A$ 港北偏东 $20 °$ 方向．

（1）直接写出 $∠ C$ 的度数；

（2）求 $A$ 、 $C$ 两港之间的距离．（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）

如图，正方形 $ABCD$ ， $G$ 是 $BC$ 边上任意一点（不与 $B$ 、 $C$ 重合）， $DE ⊥ AG$ 于点 $E$ ， $BF / / DE$ ，且交 $AG$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $AF - BF = EF$ ；

（2）四边形 $BFDE$ 是否可能是平行四边形，如果可能，请指出此时点 $G$ 的位置，如不可能，请说明理由．

（1）计算： $| 1 - \sqrt{3} | - \sqrt{2} \times \sqrt{6} + \frac{1}{2 - \sqrt{3}} - {(\frac{2}{3})}^{- 2}$ ；

（2）已知 $m$ 是小于0的常数，解关于 $x$ 的不等式组： $\{\begin{matrix} 4 x - 1 > x - 7 \\ - \frac{1}{4} x < \frac{3}{2} m - 1 \end{matrix}$ ．

如图1，抛物线 $y = x^{2} + bx + c$ 交 $x$ 轴于 $A$ ， $B$ 两点，其中点 $A$ 的坐标为 $(1, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C (0, - 3)$ ．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）点 $D$ 为 $y$ 轴上一点，如果直线 $BD$ 与直线 $BC$ 的夹角为 $15 °$ ，求线段 $CD$ 的长度；

（3）如图2，连接 $AC$ ，点 $P$ 在抛物线上，且满足 $∠ PAB = 2 ∠ ACO$ ，求点 $P$ 的坐标．

（1）【操作发现】

如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中， $ΔABC$ 的三个顶点均在格点上．

①请按要求画图：将 $ΔABC$ 绕点 $A$ 顺时针方向旋转 $90 °$ ，点 $B$ 的对应点为点 $B'$ ，点 $C$ 的对应点为点 $C'$ ．连接 $BB'$ ；

②在①中所画图形中， $∠ AB' B =$ 　　 $°$ ．

（2）【问题解决】

如图2，在 $Rt Δ ABC$ 中， $BC = 1$ ， $∠ C = 90 °$ ，延长 $CA$ 到 $D$ ，使 $CD = 1$ ，将斜边 $AB$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90 °$ 到 $AE$ ，连接 $DE$ ，求 $∠ ADE$ 的度数．

（3）【拓展延伸】

如图3，在四边形 $ABCD$ 中， $AE ⊥ BC$ ，垂足为 $E$ ， $∠ BAE = ∠ ADC$ ， $BE = CE = 1$ ， $CD = 3$ ， $AD = kAB (k$ 为常数），求 $BD$ 的长（用含 $k$ 的式子表示）．