已知RtΔABC中，∠B90°，AC20，AB10，P是边A-优题课

已知 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $AC = 20$ ， $AB = 10$ ， $P$ 是边 $AC$ 上一点（不包括端点 $A$ 、 $C)$ ，过点 $P$ 作 $PE ⊥ BC$ 于点 $E$ ，过点 $E$ 作 $EF / / AC$ ，交 $AB$ 于点 $F$ ．设 $PC = x$ ，

$PE = y$ ．

（1）求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

（2）是否存在点 $P$ 使 $ΔPEF$ 是 $Rt$ △？若存在，求此时的 $x$ 的值；若不存在，请说明理由．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：相似三角形的判定与性质一次函数的应用

已知抛物线 $y = 2 x^{2} - 4 x + c$ 与 $x$ 轴有两个不同的交点．

（1）求 $c$ 的取值范围；

（2）若抛物线 $y = 2 x^{2} - 4 x + c$ 经过点 $A (2, m)$ 和点 $B (3, n)$ ，试比较 $m$ 与 $n$ 的大小，并说明理由．

化简： ${(a + b)}^{2} - b (2 a + b)$ ．

计算： ${(- 2)}^{3} + \frac{1}{2} \times 8$ ．

如图，已知锐角三角形 $ABC$ 内接于圆 $O$ ， $OD ⊥ BC$ 于点 $D$ ，连接 $OA$ ．

（1）若 $∠ BAC = 60 °$ ，

①求证： $OD = \frac{1}{2} OA$ ．

②当 $OA = 1$ 时，求 $ΔABC$ 面积的最大值．

（2）点 $E$ 在线段 $OA$ 上， $OE = OD$ ，连接 $DE$ ，设 $∠ ABC = m ∠ OED$ ， $∠ ACB = n ∠ OED (m$ ， $n$ 是正数），若 $∠ ABC < ∠ ACB$ ，求证： $m - n + 2 = 0$ ．

设二次函数 $y = (x - x_{1}) (x - x_{2}) (x_{1}$ ， $x_{2}$ 是实数）．

（1）甲求得当 $x = 0$ 时， $y = 0$ ；当 $x = 1$ 时， $y = 0$ ；乙求得当 $x = \frac{1}{2}$ 时， $y = - \frac{1}{2}$ ．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．

（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 的代数式表示）．

（3）已知二次函数的图象经过 $(0, m)$ 和 $(1, n)$ 两点 $(m$ ， $n$ 是实数），当 $0 < x_{1} < x_{2} < 1$ 时，求证： $0 < mn < \frac{1}{16}$ ．

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