（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上-优题课

（1）如图1，在正方形 $ABCD$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在 $BC$ ， $CD$ 上， $AE ⊥ BF$ 于点 $M$ ，求证： $AE = BF$ ；

（2）如图2，将（1）中的正方形 $ABCD$ 改为矩形 $ABCD$ ， $AB = 2$ ， $BC = 3$ ， $AE ⊥ BF$ 于点 $M$ ，探究 $AE$ 与 $BF$ 的数量关系，并证明你的结论．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：相似三角形的判定与性质矩形的性质全等三角形的判定与性质正方形的性质

如图，将 $ΔABC$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $60 °$ 得到 $ΔDBE$ ，点 $C$ 的对应点 $E$ 恰好落在 $AB$ 的延长线上，连接 $AD$ ．

（1）求证： $BC / / AD$ ；

（2）若 $AB = 4$ ， $BC = 1$ ，求 $A$ ， $C$ 两点旋转所经过的路径长之和．

阅读下列"问题"与"提示"后，将解方程的过程补充完整，求出 $x$ 的值．

【问题】解方程： $x^{2} + 2 x + 4 \sqrt{x^{2} + 2 x} - 5 = 0$ ．

【提示】可以用"换元法"解方程．

解：设 $\sqrt{x^{2} + 2 x} = t (t ⩾ 0)$ ，则有 $x^{2} + 2 x = t^{2}$

原方程可化为： $t^{2} + 4 t - 5 = 0$

先化简，再求值： $(1 - \frac{1}{a}) \div \frac{a^{2} - 1}{a^{2} + 2 a + 1}$ ，其中 $a$ 是不等式组 $\{\begin{matrix} a - 2 ⩾ 2 - a① \\ 2 a - 1 < a + 3 ② \end{matrix}$ 的最小整数解．

如图，抛物线 $L : y = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{5}{4} x - 3$ 与 $x$ 轴正半轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ．

（1）求直线 $AB$ 的解析式及抛物线顶点坐标；

（2）如图1，点 $P$ 为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点 $P$ 作 $PC ⊥ x$ 轴，垂足为 $C$ ， $PC$ 交 $AB$ 于点 $D$ ，求 $PD + BD$ 的最大值，并求出此时点 $P$ 的坐标；

（3）如图2，将抛物线 $L : y = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{5}{4} x - 3$ 向右平移得到抛物线 $L^{'}$ ，直线 $AB$ 与抛物线 $L^{'}$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，若点 $A$ 是线段 $MN$ 的中点，求抛物线 $L^{'}$ 的解析式．

2020年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年，荆门市政府加大各部门和单位对口扶贫力度．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月（按30天计）的第 $x$ 天 $(x$ 为正整数）的销售价格 $p$ （元 $/$ 千克）关于 $x$ 的函数关系式为 $p = \{\begin{matrix} \frac{2}{5} x + 4 (0 < x ⩽ 20) \\ - \frac{1}{5} x + 12 (20 < x ⩽ 30) \end{matrix}$ ，销售量 $y$ （千克）与 $x$ 之间的关系如图所示．

（1）求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式，并写出 $x$ 的取值范围；

（2）当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少？（销售额 $=$ 销售量 $\times$ 销售价格）

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