如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD、CF⊥AB，分别交AD、-优题课

如图，菱形 $ABCD$ 中，作 $BE ⊥ AD$ 、 $CF ⊥ AB$ ，分别交 $AD$ 、 $AB$ 的延长线于点 $E$ 、 $F$ ．

（1）求证： $AE = BF$ ；

（2）若点 $E$ 恰好是 $AD$ 的中点， $AB = 2$ ，求 $BD$ 的值．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：菱形的性质全等三角形的判定与性质

如图，已知抛物线 $y = x^{2} + bx + c$ 的图象经过点 $A (1, 0)$ ， $B (- 3, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，抛物线的顶点为 $D$ ，对称轴与 $x$ 轴相交于点 $E$ ，连接 $BD$ ．

（1）求抛物线的解析式．

（2）若点 $P$ 在直线 $BD$ 上，当 $PE = PC$ 时，求点 $P$ 的坐标．

（3）在（2）的条件下，作 $PF ⊥ x$ 轴于 $F$ ，点 $M$ 为 $x$ 轴上一动点， $N$ 为直线 $PF$ 上一动点， $G$ 为抛物线上一动点，当以点 $F$ ， $N$ ， $G$ ， $M$ 四点为顶点的四边形为正方形时，求点 $M$ 的坐标．

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $D$ ， $E$ 在 $⊙ O$ 上， $∠ A = 2 ∠ BDE$ ，点 $C$ 在 $AB$ 的延长线上， $∠ C = ∠ ABD$ ．

（1）求证： $CE$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $BF = 2$ ， $EF = \sqrt{13}$ ，求 $⊙ O$ 的半径长．

校园超市以4元 $/$ 件购进某物品，为制定该物品合理的销售价格，对该物品进行试销调查．发现每天调整不同的销售价，其销售总金额为定值，其中某天该物品的售价为6元 $/$ 件时，销售量为50件．

（1）设售价为 $x$ 元 $/$ 件时，销售量为 $y$ 件．请写出 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

（2）若超市考虑学生的消费实际，计划将该物品每天的销售利润定为60元，则该物品的售价应定为多少元 $/$ 件？

如图， $E$ ， $F$ 是正方形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 上的两点，且 $AE = CF$ ．

（1）求证：四边形 $BEDF$ 是菱形；

（2）若正方形边长为4， $AE = \sqrt{2}$ ，求菱形 $BEDF$ 的面积．

如图， $ΔABC$ 中， $A (- 4, 4)$ ， $B (- 4, - 2)$ ， $C (- 2, 2)$ ．

（1）请画出将 $ΔABC$ 向右平移8个单位长度后的△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

（2）求出 $∠ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的余弦值；

（3）以 $O$ 为位似中心，将△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ 缩小为原来的 $\frac{1}{2}$ ，得到△ $A_{2} B_{2} C_{2}$ ，请在 $y$ 轴右侧画出△ $A_{2} B_{2} C_{2}$ ．