如图，抛物线yax2bx−a−b(a<0，a、b为常数）与x-优题课

如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx - a - b (a < 0$ ， $a$ 、 $b$ 为常数）与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $C$ 两点，与 $y$ 轴交于 $B$ 点，直线 $AB$ 的函数关系式为 $y = \frac{8}{9} x + \frac{16}{3}$ ．

（1）求该抛物线的函数关系式与 $C$ 点坐标；

（2）已知点 $M (m, 0)$ 是线段 $OA$ 上的一个动点，过点 $M$ 作 $x$ 轴的垂线 $l$ 分别与直线 $AB$ 和抛物线交于 $D$ 、 $E$ 两点，当 $m$ 为何值时， $ΔBDE$ 恰好是以 $DE$ 为底边的等腰三角形？

（3）在（2）问条件下，当 $ΔBDE$ 恰好是以 $DE$ 为底边的等腰三角形时，动点 $M$ 相应位置记为点 $M'$ ，将 $OM'$ 绕原点 $O$ 顺时针旋转得到 $ON$ （旋转角在 $0 °$ 到 $90 °$ 之间）；

$i$ ．探究：线段 $OB$ 上是否存在定点 $P (P$ 不与 $O$ 、 $B$ 重合），无论 $ON$ 如何旋转， $\frac{NP}{NB}$ 始终保持不变．若存在，试求出 $P$ 点坐标；若不存在，请说明理由；

$ii$ ．试求出此旋转过程中， $(NA + \frac{3}{4} NB)$ 的最小值．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：二次函数的性质待定系数法求二次函数解析式二次函数综合题