如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-a-b(a<0$， $a$、 $b$为常数）与 $x$轴交于 $A$、 $C$两点，与 $y$轴交于 $B$点，直线 $\mathit{AB}$的函数关系式为 $y=\frac{8}{9}x+\frac{16}{3}$．

（1）求该抛物线的函数关系式与 $C$点坐标；

（2）已知点 $M(m,0)$是线段 $\mathit{OA}$上的一个动点，过点 $M$作 $x$轴的垂线 $l$分别与直线 $\mathit{AB}$和抛物线交于 $D$、 $E$两点，当 $m$为何值时， $\mathit{\Delta BDE}$恰好是以 $\mathit{DE}$为底边的等腰三角形？

（3）在（2）问条件下，当 $\mathit{\Delta BDE}$恰好是以 $\mathit{DE}$为底边的等腰三角形时，动点 $M$相应位置记为点 $M\text{'}$，将 $\mathit{OM}\text{'}$绕原点 $O$顺时针旋转得到 $\mathit{ON}$（旋转角在 $0°$到 $90°$之间）；

$i$．探究：线段 $\mathit{OB}$上是否存在定点 $P(P$不与 $O$、 $B$重合），无论 $\mathit{ON}$如何旋转， $\frac{\mathit{NP}}{\mathit{NB}}$始终保持不变．若存在，试求出 $P$点坐标；若不存在，请说明理由；

$\mathit{ii}$．试求出此旋转过程中， $(\mathit{NA}+\frac{3}{4}\mathit{NB})$的最小值．

科目 数学   题型 解答题   难度 较难

知识点： 二次函数的性质 待定系数法求二次函数解析式 二次函数综合题