如图，在平面直角坐标系xOy中，函数ymx(m为常数，m<1-优题课

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，函数 $y = \frac{m}{x} (m$ 为常数， $m > 1$ ， $x > 0)$ 的图象经过点 $P (m, 1)$ 和 $Q (1, m)$ ，直线 $PQ$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于 $C$ ， $D$ 两点，点 $M (x, y)$ 是该函数图象上的一个动点，过点 $M$ 分别作 $x$ 轴和 $y$ 轴的垂线，垂足分别为 $A$ ， $B$ ．

（1）求 $∠ OCD$ 的度数；

（2）当 $m = 3$ ， $1 < x < 3$ 时，存在点 $M$ 使得 $ΔOPM ∽ ΔOCP$ ，求此时点 $M$ 的坐标；

（3）当 $m = 5$ 时，矩形 $OAMB$ 与 $ΔOPQ$ 的重叠部分的面积能否等于4.1？请说明你的理由．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：反比例函数的性质待定系数法求反比例函数解析式相似三角形的判定与性质反比例函数综合题

如图，直线 $y = x - 3$ 交 $x$ 轴于点 $A$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ，点 $B$ 的坐标为 $(1, 0)$ ，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 经过 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点，抛物线的顶点为点 $D$ ，对称轴与 $x$ 轴的交点为点 $E$ ，点 $E$ 关于原点的对称点为 $F$ ，连接 $CE$ ，以点 $F$ 为圆心， $\frac{1}{2} CE$ 的长为半径作圆，点 $P$ 为直线 $y = x - 3$ 上的一个动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求 $ΔBDP$ 周长的最小值；

（3）若动点 $P$ 与点 $C$ 不重合，点 $Q$ 为 $⊙ F$ 上的任意一点，当 $PQ$ 的最大值等于 $\frac{3}{2} CE$ 时，过 $P$ ， $Q$ 两点的直线与抛物线交于 $M$ ， $N$ 两点（点 $M$ 在点 $N$ 的左侧），求四边形 $ABMN$ 的面积．

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $CD ⊥ AB$ 于点 $E$ ，点 $F$ 是 $⊙ O$ 上一点，且 $\hat{AC} = \hat{CF}$ ，连接 $FB$ ， $FD$ ， $FD$ 交 $AB$ 于点 $N$ ．

（1）若 $AE = 1$ ， $CD = 6$ ，求 $⊙ O$ 的半径；

（2）求证： $ΔBNF$ 为等腰三角形；

（3）连接 $FC$ 并延长，交 $BA$ 的延长线于点 $P$ ，过点 $D$ 作 $⊙ O$ 的切线，交 $BA$ 的延长线于点 $M$ ．求证： $ON \cdot OP = OE \cdot OM$ ．

如图，直线 $AB$ 与 $x$ 轴交于点 $A (1, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $B (0, 2)$ ，将线段 $AB$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到线段 $AC$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0, x > 0)$ 的图象经过点 $C$ ．

（1）求直线 $AB$ 和反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0, x > 0)$ 的解析式；

（2）已知点 $P$ 是反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0, x > 0)$ 图象上的一个动点，求点 $P$ 到直线 $AB$ 距离最短时的坐标．

小张去文具店购买作业本，作业本有大、小两种规格，大本作业本的单价比小本作业本贵0.3元，已知用8元购买大本作业本的数量与用5元购买小本作业本的数量相同．

（1）求大本作业本与小本作业本每本各多少元？

（2）因作业需要，小张要再购买一些作业本，购买小本作业本的数量是大本作业本数量的2倍，总费用不超过15元．则大本作业本最多能购买多少本？

平行四边形的其中一个判定定理是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．请你证明这个判定定理．

已知：如图，在四边形 $ABCD$ 中， $AB = CD$ ， $AD = BC$ ．

求证：四边形 $ABCD$ 是平行四边形．

证明：