如图，ΔABC内接于⊙O，AD与BC是⊙O的直径，延长线段A-优题课

如图， $ΔABC$ 内接于 $⊙ O$ ， $AD$ 与 $BC$ 是 $⊙ O$ 的直径，延长线段 $AC$ 至点 $G$ ，使 $AG = AD$ ，连接 $DG$ 交 $⊙ O$ 于点 $E$ ， $EF / / AB$ 交 $AG$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $EF$ 与 $⊙ O$ 相切．

（2）若 $EF = 2 \sqrt{3}$ ， $AC = 4$ ，求扇形 $OAC$ 的面积．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆周角定理三角形的外接圆与外心切线的判定扇形面积的计算

如图，一座钢结构桥梁的框架是 $ΔABC$ ，水平横梁 $BC$ 长 18 米，中柱 $AD$ 高 6 米，其中 $D$ 是 $BC$ 的中点，且 $AD ⊥ BC$ ．

（1）求 $\sin B$ 的值；

（2）现需要加装支架 $DE$ 、 $EF$ ，其中点 $E$ 在 $AB$ 上， $BE = 2 AE$ ，且 $EF ⊥ BC$ ，垂足为点 $F$ ，求支架 $DE$ 的长．

如图所示，梯形 $ABCD$ 中， $AB / / DC$ ， $∠ B = 90 °$ ， $AD = 15$ ， $AB = 16$ ， $BC = 12$ ，点 $E$ 是边 $AB$ 上的动点，点 $F$ 是射线 $CD$ 上一点，射线 $ED$ 和射线 $AF$ 交于点 $G$ ，且 $∠ AGE = ∠ DAB$ ．

（1）求线段 $CD$ 的长；

（2）如果 $ΔAEG$ 是以 $EG$ 为腰的等腰三角形，求线段 $AE$ 的长；

（3）如果点 $F$ 在边 $CD$ 上（不与点 $C$ 、 $D$ 重合），设 $AE = x$ ， $DF = y$ ，求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并写出 $x$ 的取值范围．

如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx - 5 (a \neq 0)$ 经过点 $A (4, - 5)$ ，与 $x$ 轴的负半轴交于点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且 $OC = 5 OB$ ，抛物线的顶点为点 $D$ ．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）联结 $AB$ 、 $BC$ 、 $CD$ 、 $DA$ ，求四边形 $ABCD$ 的面积；

（3）如果点 $E$ 在 $y$ 轴的正半轴上，且 $∠ BEO = ∠ ABC$ ，求点 $E$ 的坐标．

已知：如图， $⊙ O$ 是 $ΔABC$ 的外接圆， $\hat{AB} = \hat{AC}$ ，点 $D$ 在边 $BC$ 上， $AE / / BC$ ， $AE = BD$ ．

（1）求证： $AD = CE$ ；

（2）如果点 $G$ 在线段 $DC$ 上（不与点 $D$ 重合），且 $AG = AD$ ，求证：四边形 $AGCE$ 是平行四边形．

某物流公司引进 $A$ 、 $B$ 两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运5小时， $A$ 种机器人于某日0时开始搬运，过了1小时， $B$ 种机器人也开始搬运，如图，线段 $OG$ 表示 $A$ 种机器人的搬运量 $y_{A}$ （千克）与时间 $x$ （时 $)$ 的函数图象，线段 $EF$ 表示 $B$ 种机器人的搬运量 $y_{B}$ （千克）与时间 $x$ （时 $)$ 的函数图象．根据图象提供的信息，解答下列问题：

（1）求 $y_{B}$ 关于 $x$ 的函数解析式；

（2）如果 $A$ 、 $B$ 两种机器人连续搬运5个小时，那么 $B$ 种机器人比 $A$ 种机器人多搬运了多少千克？

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