我们在学完平移、轴对称、旋转三种图形的变化后，可以进行进一步-优题课

我们在学完“平移、轴对称、旋转”三种图形的变化后，可以进行进一步研究，请根据示例图形，完成下表．

图形的变化	示例图形	与对应线段有关的结论	与对应点有关的结论
平移		（1）	$AA' = BB'$ $AA' / / BB'$
轴对称		（2）	（3）
旋转		$AB = A' B'$ ；对应线段 $AB$ 和 $A' B'$ 所在的直线相交所成的角与旋转角相等或互补．	（4）

科目数学题型解答题难度中等

知识点：轴对称的性质平移的性质旋转的性质

永州植物园“清风园”共设11个主题展区．为推进校园文化建设，某校九年级（1）班组织部分学生到“清风园”参观后，开展“我最喜欢的主题展区”投票调查．要求学生从“和文化”、“孝文化”、“德文化”、“理学文化”、“瑶文化”五个展区中选择一项，根据调查结果绘制出了两幅不完整的条形统计图和扇形统计图．结合图中信息，回答下列问题．

（1）参观的学生总人数为　　人；

（2）在扇形统计图中最喜欢“瑶文化”的学生占参观总学生数的百分比为　　；

（3）补全条形统计图；

（4）从最喜欢“德文化”的学生中随机选两人参加知识抢答赛，最喜欢“德文化”的学生甲被选中的概率为　　．

如图，已知抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{3}{2} x - n (n > 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点 $(A$ 点在 $B$ 点的左边），与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）如图1，若 $ΔABC$ 为直角三角形，求 $n$ 的值；

（2）如图1，在（1）的条件下，点 $P$ 在抛物线上，点 $Q$ 在抛物线的对称轴上，若以 $BC$ 为边，以点 $B$ 、 $C$ 、 $P$ 、 $Q$ 为顶点的四边形是平行四边形，求 $P$ 点的坐标；

（3）如图2，过点 $A$ 作直线 $BC$ 的平行线交抛物线于另一点 $D$ ，交 $y$ 轴于点 $E$ ，若 $AE : ED = 1 : 4$ ，求 $n$ 的值．

如图1，在矩形 $ABCD$ 中， $E$ 是 $AD$ 的中点，以点 $E$ 为直角顶点的直角三角形 $EFG$ 的两边 $EF$ ， $EG$ 分别过点 $B$ ， $C$ ， $∠ F = 30 °$ ．

（1）求证： $BE = CE$ ；

（2）将 $ΔEFG$ 绕点 $E$ 按顺时针方向旋转，当旋转到 $EF$ 与 $AD$ 重合时停止转动，若 $EF$ ， $EG$ 分别与 $AB$ ， $BC$ 相交于点 $M$ ， $N$ （如图 $2)$ ．

①求证： $ΔBEM ≅ ΔCEN$ ；

②若 $AB = 2$ ，求 $ΔBMN$ 面积的最大值；

③当旋转停止时，点 $B$ 恰好在 $FG$ 上（如图 $3)$ ，求 $\sin ∠ EBG$ 的值．

益马高速通车后，将桃江马迹塘的农产品运往益阳的运输成本大大降低，马迹塘一农户需要将 $A$ ， $B$ 两种农产品定期运往益阳某加工厂，每次运输 $A$ ， $B$ 产品的件数不变，原来每运一次的运费是1200元，现在每运一次的运费比原来减少了300元． $A$ ， $B$ 两种产品原来的运费和现在的运费（单位：元 $/$ 件）如下表所示：

品种	$A$	$B$
原运费	45	25
现运费	30	20

（1）求每次运输的农产品中 $A$ ， $B$ 产品各有多少件？

（2）由于该农户诚实守信，产品质量好，加工厂决定提高该农户的供货量，每次运送的产品总件数增加8件，但总件数中 $B$ 产品的件数不得超过 $A$ 产品件数的2倍，问产品件数增加后，每次运费最少需要多少元？

如图，在平面直角坐标系中有三点 $(1, 2)$ ， $(3, 1)$ ， $(- 2, - 1)$ ，其中有两点同时在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上，将这两点分别记为 $A$ ， $B$ ，另一点记为 $C$ ．

（1）求出 $k$ 的值；

（2）求直线 $AB$ 对应的一次函数的表达式；

（3）设点 $C$ 关于直线 $AB$ 的对称点为 $D$ ， $P$ 是 $x$ 轴上的一个动点，直接写出 $PC + PD$ 的最小值（不必说明理由）．