已知，在 $\mathit{\Delta ABC}$中，点 $D$在 $\mathit{AB}$上，点 $E$是 $\mathit{BC}$延长线上一点，且 $\mathit{AD}=\mathit{CE}$，连接 $\mathit{DE}$交 $\mathit{AC}$于点 $F$．

（1）猜想证明：如图1，在 $\mathit{\Delta ABC}$中，若 $\mathit{AB}=\mathit{BC}$，学生们发现： $\mathit{DF}=\mathit{EF}$．下面是两位学生的证明思路：

思路1：过点 $D$作 $\mathit{DG}//\mathit{BC}$，交 $\mathit{AC}$于点 $G$，可证 $\mathit{\Delta DFG}\cong \mathit{\Delta EFC}$得出结论；

思路2：过点 $E$作 $\mathit{EH}//\mathit{AB}$，交 $\mathit{AC}$的延长线于点 $H$，可证 $\mathit{\Delta ADF}\cong \mathit{\Delta HEF}$得出结论；

$\dots$

请你参考上面的思路，证明 $\mathit{DF}=\mathit{EF}$（只用一种方法证明即可）．

（2）类比探究：在（1）的条件下（如图 $1)$，过点 $D$作 $\mathit{DM}\perp \mathit{AC}$于点 $M$，试探究线段 $\mathit{AM}$， $\mathit{MF}$， $\mathit{FC}$之间满足的数量关系，并证明你的结论．

（3）延伸拓展：如图2，在 $\mathit{\Delta ABC}$中，若 $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\angle \mathit{ABC}=2\angle \mathit{BAC}$， $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{BC}}=m$，请你用尺规作图在图2中作出 $\mathit{AD}$的垂直平分线交 $\mathit{AC}$于点 $N$（不写作法，只保留作图痕迹），并用含 $m$的代数式直接表示 $\frac{\mathit{NF}}{\mathit{AC}}$的值．

科目 数学   题型 解答题   难度 中等

知识点： 相似三角形的判定与性质 全等三角形的判定与性质 相似形综合题