如图1，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+2$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$， $\mathit{AB}=4$，矩形 $\mathit{OBDC}$的边 $\mathit{CD}=1$，延长 $\mathit{DC}$交抛物线于点 $E$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，点 $P$是直线 $\mathit{EO}$上方抛物线上的一个动点，过点 $P$作 $y$轴的平行线交直线 $\mathit{EO}$于点 $G$，作 $\mathit{PH}\perp \mathit{EO}$，垂足为 $H$．设 $\mathit{PH}$的长为 $l$，点 $P$的横坐标为 $m$，求 $l$与 $m$的函数关系式（不必写出 $m$的取值范围），并求出 $l$的最大值；

（3）如果点 $N$是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点 $M$，使得以 $M$， $A$， $C$， $N$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点 $M$的坐标；若不存在，请说明理由．

科目 数学   题型 解答题   难度 较难

知识点： 二次函数的性质 待定系数法求二次函数解析式 二次函数综合题