综合与探究如图1所示，直线yxc与x轴交于点A(−4,0)，-优题课

如图，已知点 $A$ 在反比例函数 $y = \frac{4}{x} (x > 0)$ 的图象上，过点 $A$ 作 $AC ⊥ x$ 轴，垂足是 $C$ ， $AC = OC$ ．一次函数 $y = kx + b$ 的图象经过点 $A$ ，与 $y$ 轴的正半轴交于点 $B$ ．

（1）求点 $A$ 的坐标；

（2）若四边形 $ABOC$ 的面积是3，求一次函数 $y = kx + b$ 的表达式．

将图中的 $A$ 型、 $B$ 型、 $C$ 型矩形纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中．

（1）搅匀后从中摸出1个盒子，求摸出的盒子中是 $A$ 型矩形纸片的概率；

（2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的两个盒子中摸出一个盒子，求2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的概率（不重叠无缝隙拼接）．

为了解某市初中学生课外阅读情况，调查小组对该市这学期初中学生阅读课外书籍的册数进行了抽样调查，并根据调查结果绘制成如下统计图．

根据统计图提供的信息，解答下列问题：

（1）本次抽样调查的样本容量是　　；

（2）补全条形统计图；

（3）该市共有12000名初中生，估计该市初中学生这学期课外阅读超过2册的人数．

如图，把 $ΔABC$ 沿 $BC$ 翻折得 $ΔDBC$ ．

（1）连接 $AD$ ，则 $BC$ 与 $AD$ 的位置关系是　　．

（2）不在原图中添加字母和线段，只加一个条件使四边形 $ABDC$ 是平行四边形，写出添加的条件，并说明理由．

小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：

求解体验：

（1）已知抛物线 $y = - x^{2} + bx - 3$ 经过点 $(- 1, 0)$ ，则 $b =$ 　　，顶点坐标为　　，该抛物线关于点 $(0, 1)$ 成中心对称的抛物线表达式是　　．

抽象感悟：

我们定义：对于抛物线 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ ，以 $y$ 轴上的点 $M (0, m)$ 为中心，作该抛物线关于点 $M$ 中心对称的抛物线 $y'$ ，则我们又称抛物线 $y'$ 为抛物线 $y$ 的“衍生抛物线”，点 $M$ 为“衍生中心”．

（2）已知抛物线 $y = - x^{2} - 2 x + 5$ 关于点 $(0, m)$ 的衍生抛物线为 $y'$ ，若这两条抛物线有交点，求 $m$ 的取值范围．

问题解决：

（3）已知抛物线 $y = a x^{2} + 2 ax - b (a \neq 0)$

①若抛物线 $y$ 的衍生抛物线为 $y' = b x^{2} - 2 bx + a^{2} (b \neq 0)$ ，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求 $a$ 、 $b$ 的值及衍生中心的坐标；

②若抛物线 $y$ 关于点 $(0, k + 1^{2})$ 的衍生抛物线为 $y_{1}$ ，其顶点为 $A_{1}$ ；关于点 $(0, k + 2^{2})$ 的衍生抛物线为 $y_{2}$ ，其顶点为 $A_{2}$ ； $\dots$ ；关于点 $(0, k + n^{2})$ 的衍生抛物线为 $y_{n}$ ，其顶点为 $A_{n} \dots (n$ 为正整数）．求 $A_{n} A_{n + 1}$ 的长（用含 $n$ 的式子表示）．