如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD-优题课

如图，在菱形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ ， $BD$ 相交于点 $O$ ， $E$ 是 $CD$ 中点，连接 $OE$ ．过点 $C$ 作 $CF / / BD$ 交 $OE$ 的延长线于点 $F$ ，连接 $DF$ ．

求证：（1） $ΔODE ≅ ΔFCE$ ；

（2）四边形 $OCFD$ 是矩形．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：菱形的性质矩形的判定全等三角形的判定与性质

体育组为了了解九年级450名学生排球垫球的情况，随机抽查了九年级部分学生进行排球垫球测试（单位：个），根据测试结果，制成了下面不完整的统计图表：

（1）表中的数 $a =$ 　　， $b =$ 　　；

（2）估算该九年级排球垫球测试结果小于10的人数；

（3）排球垫球测试结果小于10的为不达标，若不达标的5人中有3个男生，2个女生，现从这5人中随机选出2人调查，试通过画树状图或列表的方法求选出的2人为一个男生一个女生的概率．

如图①，等腰直角三角形 $OEF$ 的直角顶点 $O$ 为正方形 $ABCD$ 的中心，点 $C$ ， $D$ 分别在 $OE$ 和 $OF$ 上，现将 $ΔOEF$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $α$ 角 $(0 ° < α < 90 °)$ ，连接 $AF$ ， $DE$ （如图② $)$ ．

（1）在图②中， $∠ AOF =$ 　　；（用含 $α$ 的式子表示）

（2）在图②中猜想 $AF$ 与 $DE$ 的数量关系，并证明你的结论．

先化简 $(\frac{a}{a - 1} - 1) \div \frac{2}{a^{2} - a}$ ，然后从 $- 2 ⩽ a < 2$ 中选出一个合适的整数作为 $a$ 的值代入求值．

已知： $a = (\sqrt{3} - 1) (\sqrt{3} + 1) + | 1 - \sqrt{2} |$ ， $b = \sqrt{8} - 2 \sin 45 ° + {(\frac{1}{2})}^{- 1}$ ，求 $b - a$ 的算术平方根．

已知抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 顶点 $(2, - 1)$ ，经过点 $(0, 3)$ ，且与直线 $y = x - 1$ 交于 $A$ ， $B$ 两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若在抛物线上恰好存在三点 $Q$ ， $M$ ， $N$ ，满足 $S_{ΔQAB} = S_{ΔMAB} = S_{ΔNAB} = S$ ，求 $S$ 的值；

（3）在 $A$ ， $B$ 之间的抛物线弧上是否存在点 $P$ 满足 $∠ APB = 90 °$ ？若存在，求点 $P$ 的横坐标；若不存在，请说明理由．

（坐标平面内两点 $M (x_{1}$ ， $y_{1})$ ， $N (x_{2}$ ， $y_{2})$ 之间的距离 $MN = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}})$