如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC120mm，高-优题课

如图，一块材料的形状是锐角三角形 $ABC$ ，边 $BC = 120 mm$ ，高 $AD = 80 mm$ ，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 $BC$ 上，其余两个顶点分别在 $AB$ 、 $AC$ 上，这个正方形零件的边长是多少？

科目数学题型解答题难度中等

知识点：相似三角形的应用

如图，抛物线 $y = a x^{2} - 2 x + c (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于点 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点，已知点 $A (- 2, 0)$ ，点 $C (0, - 8)$ ，点 $D$ 是抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式及顶点 $D$ 的坐标；

（2）如图1，抛物线的对称轴与 $x$ 轴交于点 $E$ ，第四象限的抛物线上有一点 $P$ ，将 $ΔEBP$ 沿直线 $EP$ 折叠，使点 $B$ 的对应点 $B^{'}$ 落在抛物线的对称轴上，求点 $P$ 的坐标；

（3）如图2，设 $BC$ 交抛物线的对称轴于点 $F$ ，作直线 $CD$ ，点 $M$ 是直线 $CD$ 上的动点，点 $N$ 是平面内一点，当以点 $B$ ， $F$ ， $M$ ， $N$ 为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点 $M$ 的坐标．

如图， $∠ MAN = 60 °$ ， $AP$ 平分 $∠ MAN$ ，点 $B$ 是射线 $AP$ 上一定点，点 $C$ 在直线 $AN$ 上运动，连接 $BC$ ，将 $∠ ABC (0 ° < ∠ ABC < 120 °)$ 的两边射线 $BC$ 和 $BA$ 分别绕点 $B$ 顺时针旋转 $120 °$ ，旋转后角的两边分别与射线 $AM$ 交于点 $D$ 和点 $E$ ．

（1）如图1，当点 $C$ 在射线 $AN$ 上时，

①请判断线段 $BC$ 与 $BD$ 的数量关系，直接写出结论；

②请探究线段 $AC$ ， $AD$ 和 $BE$ 之间的数量关系，写出结论并证明；

（2）如图2，当点 $C$ 在射线 $AN$ 的反向延长线上时， $BC$ 交射线 $AM$ 于点 $F$ ，若 $AB = 4$ ， $AC = \sqrt{3}$ ，请直接写出线段 $AD$ 和 $DF$ 的长．

如图， $ΔABC$ 内接于 $⊙ O$ ， $AC$ 是直径， $BC = BA$ ，在 $∠ ACB$ 的内部作 $∠ ACF = 30 °$ ，且 $CF = CA$ ，过点 $F$ 作 $FH ⊥ AC$ 于点 $H$ ，连接 $BF$ ．

（1）若 $CF$ 交 $⊙ O$ 于点 $G$ ， $⊙ O$ 的半径是4，求 $\hat{AG}$ 的长；

（2）请判断直线 $BF$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由．

“五一”期间，恒大影城隆重开业，影城每天运营成本为1000元，试营业期间统计发现，影城每天售出的电影票张数 $y$ （张 $)$ 与电影票售价 $x$ （元 $/$ 张）之间满足一次函数关系： $y = - 4 x + 220 (10 ⩽ x ⩽ 50$ ，且 $x$ 是整数），设影城每天的利润为 $w$ （元 $)$ （利润 $=$ 票房收入 $-$ 运营成本）．

（1）试求 $w$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

（2）影城将电影票售价定为多少元 $/$ 张时，每天获利最大？最大利润是多少元？

如图，直线 $y = 3 x$ 与双曲线 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0, x > 0)$ 交于点 $A$ ，点 $A$ 的横坐标是1．

（1）求点 $A$ 的坐标及双曲线的解析式；

（2）点 $B$ 是双曲线上一点，且点 $B$ 的纵坐标是1，连接 $OB$ ， $AB$ ，求 $ΔAOB$ 的面积．