如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的边AD在x轴上，点-优题课

折纸的思考．

（操作体验）

用一张矩形纸片折等边三角形．

第一步，对折矩形纸片 $ABCD (AB > BC)$ （图①），使 $AB$ 与 $DC$ 重合，得到折痕 $EF$ ，把纸片展平（图②）．

第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点 $C$ 落在 $EF$ 上的 $P$ 处，并使折痕经过点 $B$ ，得到折痕 $BG$ ，折出 $PB$ 、 $PC$ ，得到 $ΔPBC$ ．

（1）说明 $ΔPBC$ 是等边三角形．

（数学思考）

（2）如图④，小明画出了图③的矩形 $ABCD$ 和等边三角形 $PBC$ ．他发现，在矩形 $ABCD$ 中把 $ΔPBC$ 经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形，请描述图形变化的过程．

（3）已知矩形一边长为 $3 cm$ ，另一边长为 $acm$ ，对于每一个确定的 $a$ 的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形，请画出不同情形的示意图，并写出对应的 $a$ 的取值范围．

（问题解决）

（4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为 $4 cm$ 和 $1 cm$ 的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为　　 $cm$ ．

已知函数 $y = - x^{2} + (m - 1) x + m (m$ 为常数）．

（1）该函数的图象与 $x$ 轴公共点的个数是　　．

$A . 0$ $B . 1$ $C . 2$ $D . 1$ 或2

（2）求证：不论 $m$ 为何值，该函数的图象的顶点都在函数 $y = {(x + 1)}^{2}$ 的图象上．

（3）当 $- 2 ⩽ m ⩽ 3$ 时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．

如图，港口 $B$ 位于港口 $A$ 的南偏东 $37 °$ 方向，灯塔 $C$ 恰好在 $AB$ 的中点处．一艘海轮位于港口 $A$ 的正南方向，港口 $B$ 的正西方向的 $D$ 处，它沿正北方向航行 $5 km$ 到达 $E$ 处，测得灯塔 $C$ 在北偏东 $45 °$ 方向上，这时， $E$ 处距离港口 $A$ 有多远？（参考数据： $\sin 37 ° \approx 0.60$ ， $\cos 37 ° \approx 0.80$ ， $\tan 37 ° \approx 0.75)$

解不等式组 $\{\begin{matrix} - 2 x ⩽ 6 ① \\ x > - 2 ② \\ 3 (x - 1) < x + 1 ③ \end{matrix}$

请结合题意，完成本题的解答．

（1）解不等式①，得　　，依据是：　　．

（2）解不等式③，得　　．

（3）把不等式①、②和③的解集在数轴上表示出来．

（4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集　　．

计算 $(a + 2 + \frac{1}{a}) \div (a - \frac{1}{a})$ ．