如图，在正方形ABCD中，点E、G分别是边AD、BC的中点，-优题课

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题文

如图，在正方形 $ABCD$ 中，点 $E$ 、 $G$ 分别是边 $AD$ 、 $BC$ 的中点， $AF = \frac{1}{4} AB$ ．

（1）求证： $EF ⊥ AG$ ；

（2）若点 $F$ 、 $G$ 分别在射线 $AB$ 、 $BC$ 上同时向右、向上运动，点 $G$ 运动速度是点 $F$ 运动速度的2倍， $EF ⊥ AG$ 是否成立（只写结果，不需说明理由）？

（3）正方形 $ABCD$ 的边长为4， $P$ 是正方形 $ABCD$ 内一点，当 $S_{ΔPAB} = S_{ΔOAB}$ ，求 $ΔPAB$ 周长的最小值．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：相似三角形的判定与性质轴对称-最短路线问题正方形的性质

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小明同学训练某种运算技能，每次训练完成相同数量的题目，各次训练题目难度相当．当训练次数不超过15次时，完成一次训练所需要的时间 $y$ （单位：秒）与训练次数 $x$ （单位：次）之间满足如图所示的反比例函数关系．完成第3次训练所需时间为400秒．

（1）求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

（2）当 $x$ 的值为6，8，10时，对应的函数值分别为 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ ，比较 $(y_{1} - y_{2})$ 与 $(y_{2} - y_{3})$ 的大小： $y_{1} - y_{2}$ 　 $>$ 　 $y_{2} - y_{3}$ ．

人字折叠梯完全打开后如图1所示， $B$ ， $C$ 是折叠梯的两个着地点， $D$ 是折叠梯最高级踏板的固定点．图2是它的示意图， $AB = AC$ ， $BD = 140 cm$ ， $∠ BAC = 40 °$ ，求点 $D$ 离地面的高度 $DE$ ．（结果精确到 $0.1 cm$ ；参考数据 $\sin 70 ° \approx 0.94$ ， $\cos 70 ° \approx 0.34$ ， $\sin 20 ° \approx 0.34$ ， $\cos 20 ° \approx 0.94)$

解方程组： $\{\begin{matrix} x - y = 1, \\ 3 x + y = 7 . \end{matrix}$

计算： $| - 3 | + \sqrt{8} - \sqrt{2}$ ．

如图1，矩形 $DEFG$ 中， $DG = 2$ ， $DE = 3$ ， $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $CA = CB = 2$ ， $FG$ ， $BC$ 的延长线相交于点 $O$ ，且 $FG ⊥ BC$ ， $OG = 2$ ， $OC = 4$ ．将 $ΔABC$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $α (0 ° ⩽ α < 180 °)$ 得到△ $A' B' C'$ ．

（1）当 $α = 30 °$ 时，求点 $C'$ 到直线 $OF$ 的距离．

（2）在图1中，取 $A' B'$ 的中点 $P$ ，连结 $C' P$ ，如图2．

①当 $C' P$ 与矩形 $DEFG$ 的一条边平行时，求点 $C'$ 到直线 $DE$ 的距离．

②当线段 $A' P$ 与矩形 $DEFG$ 的边有且只有一个交点时，求该交点到直线 $DG$ 的距离的取值范围．

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