计算：(13)−1−|−23tan45°|(2−2018)0-优题课

在学习了图形的旋转知识后，数学兴趣小组的同学们又进一步对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了探究．

（一）尝试探究

如图1，在四边形 $ABCD$ 中， $AB = AD$ ， $∠ BAD = 60 °$ ， $∠ ABC = ∠ ADC = 90 °$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别在线段 $BC$ 、 $CD$ 上， $∠ EAF = 30 °$ ，连接 $EF$ ．

（1）如图2，将 $ΔABE$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $60 °$ 后得到△ $A' B' E' (A' B'$ 与 $AD$ 重合），请直接写出 $∠ E' AF =$ 　　度，线段 $BE$ 、 $EF$ 、 $FD$ 之间的数量关系为　　．

（2）如图3，当点 $E$ 、 $F$ 分别在线段 $BC$ 、 $CD$ 的延长线上时，其他条件不变，请探究线段 $BE$ 、 $EF$ 、 $FD$ 之间的数量关系，并说明理由．

（二）拓展延伸

如图4，在等边 $ΔABC$ 中， $E$ 、 $F$ 是边 $BC$ 上的两点， $∠ EAF = 30 °$ ， $BE = 1$ ，将 $ΔABE$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $60 °$ 得到△ $A' B' E' (A' B'$ 与 $AC$ 重合），连接 $EE'$ ， $AF$ 与 $EE'$ 交于点 $N$ ，过点 $A$ 作 $AM ⊥ BC$ 于点 $M$ ，连接 $MN$ ，求线段 $MN$ 的长度．

如图1， $▱ OABC$ 的边 $OC$ 在 $x$ 轴的正半轴上， $OC = 5$ ，反比例函数 $y = \frac{m}{x} (x > 0)$ 的图象经过点 $A (1, 4)$ ．

（1）求反比例函数的关系式和点 $B$ 的坐标；

（2）如图2，过 $BC$ 的中点 $D$ 作 $DP / / x$ 轴交反比例函数图象于点 $P$ ，连接 $AP$ 、 $OP$ ．

①求 $ΔAOP$ 的面积；

②在 $▱ OABC$ 的边上是否存在点 $M$ ，使得 $ΔPOM$ 是以 $PO$ 为斜边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

学生在素质教育基地进行社会实践活动，帮助农民伯伯采摘了黄瓜和茄子共 $40 kg$ ，了解到这些蔬菜的种植成本共42元，还了解到如下信息：

（1）请问采摘的黄瓜和茄子各多少千克？

（2）这些采摘的黄瓜和茄子可赚多少元？

（1）如图1，在菱形 $ABCD$ 中， $CE = CF$ ，求证： $AE = AF$ ．

（2）如图2， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $PA$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $A$ ， $OP$ 与 $⊙ O$ 相交于点 $C$ ，连接 $CB$ ， $∠ OPA = 40 °$ ，求 $∠ ABC$ 的度数．

（1）先化简再求值： $a (1 - 4 a) + (2 a + 1) (2 a - 1)$ ，其中 $a = 4$ ．

（2）解不等式组： $\{\begin{matrix} 2 x + 1 ⩽ 7, ① \\ 3 + 2 x ⩾ 1 + x, ② \end{matrix}$ ．