我市经济技术开发区某智能手机有限公司接到生产300万部智能手-优题课

如图①，在 $Rt Δ ABC$ 中，以下是小亮探究 $\frac{a}{\sin A}$ 与 $\frac{b}{\sin B}$ 之间关系的方法：

$∵ \sin A = \frac{a}{c}$ ， $\sin B = \frac{b}{c}$

$∴ c = \frac{a}{\sin A}$ ， $c = \frac{b}{\sin B}$

$∴ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

根据你掌握的三角函数知识．在图②的锐角 $ΔABC$ 中，探究 $\frac{a}{\sin A}$ 、 $\frac{b}{\sin B}$ 、 $\frac{c}{\sin C}$ 之间的关系，并写出探究过程．

如图，将边长为 $m$ 的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个矩形，拿掉边长为 $n$ 的小正方形纸板后，将剩下的三块拼成新的矩形．

（1）用含 $m$ 或 $n$ 的代数式表示拼成矩形的周长；

（2） $m = 7$ ， $n = 4$ ，求拼成矩形的面积．

在6.26国际禁毒日到来之际，贵阳市教育局为了普及禁毒知识，提高禁毒意识，举办了“关爱生命，拒绝毒品”的知识竞赛．某校初一、初二年级分别有300人，现从中各随机抽取20名同学的测试成绩进行调查分析，成绩如下：

（1）根据上述数据，将下列表格补充完成．

整理、描述数据：

分析数据：样本数据的平均数、中位数、满分率如表：

得出结论：

（2）估计该校初一、初二年级学生在本次测试成绩中可以得到满分的人数共　　人；

（3）你认为哪个年级掌握禁毒知识的总体水平较好，说明理由．

如图，以 $D$ 为顶点的抛物线 $y = - x^{2} + bx + c$ 交 $x$ 轴于 $A$ 、 $B$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C$ ，直线 $BC$ 的表达式为 $y = - x + 3$ ．

（1）求抛物线的表达式；

（2）在直线 $BC$ 上有一点 $P$ ，使 $PO + PA$ 的值最小，求点 $P$ 的坐标；

（3）在 $x$ 轴上是否存在一点 $Q$ ，使得以 $A$ 、 $C$ 、 $Q$ 为顶点的三角形与 $ΔBCD$ 相似？若存在，请求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在 $ΔABC$ 中，以 $BC$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $AC$ 于点 $E$ ，过点 $E$ 作 $AB$ 的垂线交 $AB$ 于点 $F$ ，交 $CB$ 的延长线于点 $G$ ，且 $∠ ABG = 2 ∠ C$ ．

（1）求证： $EG$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $\tan C = \frac{1}{2}$ ， $AC = 8$ ，求 $⊙ O$ 的半径．